2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列 第二课时 等比数列的性质课件 新

2．3等比数列2．3.1等比数列第二课时等比数列的性质自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．在理解掌握等比数列定义和通项公式的基础上，探索发现等比数列的性质．2．体会类比、归纳的数学思想在解决具体问题中的作用，体会等比数列与等差数列的联系．3．能够熟练地应用等比数列的性质解决相关问题，提高分析问题和解决问题的能力.等比数列的性质若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝___________(m，n∈N*)；(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝___________＝___________；(3){c·an}(c是非零常数)是公比为___________的等比数列；(4){|an|}是公比为___________的等比数列；amqn－map·aqa2kq|q|(5){amn}(m是整数常数)是公比为___________的等比数列．特别的，若数列{an}是正项等比数列时，数列{amn}(m是实数常数)是公比为___________的等比数列；(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为___________的等比数列．qmqmq1·q21．等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解析：设等比数列的公比为q，则a1＋a3＋a5＝a1＋a1q2＋a1q4＝21，∵a1＝3，∴q4＋q2－6＝0，∴q2＝2，∴a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.故选B.答案：B2．在等比数列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，则a41·a42·a43·a44＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则a13·a14·a15·a16a1·a2·a3·a4＝q48＝8，∴q16＝2，∴a41·a42·a43·a44＝a1·q40·a2·q40·a3·q40·a4·q40＝(a1·a2·a3·a4)·q160＝1×210＝1024.答案：10243．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的两根，则a1a17a9＝________.解析：由题可知a3＋a15＝60，a3·a15＝80，∴a3与a15都为正数，∴a9为正数，由a29＝a3·a15＝8，∴a9＝22，则a1a17a9＝a29a9＝a9＝22.答案：22典例精析规律总结课堂互动探究(1)(2018·江西赣州月考)已知在等比数列{an}中，an0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20a50a80的值为()A．32B．64C．256D．±64(2)(2018·辽宁盘锦月考)已知{an}是等比数列，若a4＋a6＝10，则a1a7＋2a3a7＋a3a9＝()A．10B．20C．60D．100【解析】(1)由题可知a1·a99＝16，∴a250＝a1·a99＝16，又an0，∴a50＝4，∴a20a50a80＝a350＝64，故选B.(2)a1a7＋2a3a7＋a3a9＝a24＋2a4·a6＋a26＝(a4＋a6)2＝100，故选D.【答案】(1)B(2)D【知识点拨】在等比数列的有关运算中，常涉及次数较高的指数运算，若按常规解法，往往是建立a1和q的方程(组)，这样解起来较麻烦．而采用等比数列性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果．在等比数列{an}中，(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q；(3)已知等比数列{an}满足an0(n∈N*)，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，求log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1的值．解：(1)∵a1a2a3＝a32＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36，且a1＋a3＝21－a2＝15.∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根，解方程得x1＝3，x2＝12.当a1＝3时，q＝a2a1＝2，an＝3·2n－1；当a1＝12时，q＝12，an＝12·12n－1.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，故q＝±2.(3)由等比数列的性质可知a5a2n－5＝a2n，又a5a2n－5＝22n，所以an＝2n.又log2a2n－1＝log222n－1＝2n－1，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝[1＋2n－1]n2＝n2.已知等差数列{an}中，a2＋a3＝14，a4－a1＝6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b2＝a1，b3＝a3，若b6＝am，求实数m的值．【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a3＝14，a4－a1＝6，∴2a1＋3d＝14，3d＝6，解得d＝2，a1＝4.∴an＝4＋2(n－1)＝2n＋2.(2)设等比数列{bn}的公比为q，∵b2＝a1，b3＝a3，∴b1q＝4，b1q2＝8，解得q＝2，b1＝2，∴bn＝2n.∵b6＝am，∴26＝2m＋2，解得m＝31.(2018·河北邯郸月考)已知{an}为等差数列，且满足a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a3，ak＋1，Sk成等比数列，求正整数k的值．解：(1)由题可知a1＋a1＋2d＝8，a1＋d＋a1＋3d＝12，解得a1＝2，d＝2，∴an＝2＋2(n－1)＝2n.(2)Sn＝na1＋nn－12d＝n2＋n，若a3，ak＋1，Sk成等比数列，∴a2k＋1＝a3·Sk，即4(k＋1)2＝6(k2＋k)，解得k＝2或k＝－1(舍去)．∴正整数k的值为2.即学即练稳操胜券基础知识达标1．(2018·河南长葛质检)已知数列{an}满足log3an＋1＝1＋log3an(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是()A．－15B．－5C．5D.15解析：由log3an＋1＝1＋log3an，得an＋1＝3an，∴数列{an}为等比数列，公比为3，由a2＋a4＋a6＝9，知a5＋a7＋a9＝a2·q3＋a4·q3＋a6q3＝(a2＋a4＋a6)q3＝35，∴log(a5＋a7＋a9)＝－5.故选B.答案：B2．在等比数列{an}中，若a1＝19，a4＝3，则该数列前五项的积为()A．±3B．3C．±1D．1解析：∵q3＝a4a1＝27，∴q＝3，∴a3＝1.∴a1a2a3a4a5＝a53＝1，故选D.答案：D3．设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1，n∈N＋，若数列{bn}的连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于()A．－43B．－32C．－32或－23D．－34或－43解析：由题可知an∈{－54，－24,18,36,81}，∴－24,36，－54,81是数列{an}中的项，∴q＝36－24＝－32或q＝－2436＝－23，故选C.答案：C4．已知{an}为等比数列，a5＋a8＝2，a6·a7＝－8，则a2＋a11＝()A．5B．7C．－7D．－5解析：∵{an}为等比数列，∴a6·a7＝a5·a8，∴a5＋a8＝2，a5·a8＝－8，∴a5＝－2，a8＝4或a5＝4，a8＝－2，∴q3＝a8a5＝－2或q3＝－12，当q3＝－2时，a2＋a11＝a5q3＋a8·q3＝－7；当q3＝－12时，a2＋a11＝4×(－2)＋(－2)×－12＝－7，故选C.答案：C5．(2019·广西南宁月考)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝1an－1an＋1，若数列{bn}前n项和为Tn，证明：13≤Tn12.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则10a1＋10×92d＝110，a1＋d2＝a1a1＋3d，解得a1＝2，d＝2.∴an＝2n.(2)证明：bn＝1an－1an＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝12－14n＋2，∴Tn12，又{Tn}是递增的数列，∴Tn≥T1＝13，∴13≤Tn12.