2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和

2.3等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．会利用等差数列性质简化求和运算．2．会利用等差数列前n项和的函数特征求最值阅读教材P44～P45，完成下列问题．知识点一|等差数列前n项和及最值‖知识梳理‖1．前n项和公式：Sn＝1_____________＝d2n2＋2_____________.na1＋nn－12da1－d2n2．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a10，d0时，Sn有3_____________值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≥0，an＋1≤0确定；当a10，d0时，Sn有4_____________值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≤0，an＋1≥0确定．最大最小(2)因为Sn＝d2n2＋a1－d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有5_____________值；当d0时，Sn有6___________值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．最小最大‖思考辨析‖判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的前n项和一定是关于n的常数项为0的二次函数．()(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝na3＋an－22(n≥3)．()(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Snn为等差数列．()答案：(1)×(2)√(3)√知识点二|裂项相消求和‖知识梳理‖把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求和．常见的拆项方法：(1)1nn＋k＝7_____________；(2)1n＋k＋n＝8_____________；(3)12n－12n＋1＝9_____________.1k1n－1n＋k1k(n＋k－n)1212n－1－12n＋1‖小试身手‖1．计算：13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝_____________.解析：S＝1213－15＋15－17＋…＋113－115＝1213－115＝215.答案：2152．数列{an}的通项公式an＝1n＋n＋1，其前n项和Sn＝9，则n＝_____________.解析：∵an＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴Sn＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1，故n＋1－1＝9，∴n＋1＝10，n＝99.答案：99剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一等差数列前n项和的最值互动探究【例1】在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a10，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为_____________．[解析][解法一：函数法]由S3＝S11，可得3a1＋3×22d＝11a1＋11×102d，即d＝－213a1.从而Sn＝d2n2＋a1－d2n＝－a113(n－7)2＋4913a1，因为a10，所以－a1130.故当n＝7时，Sn最大．[解法二：通项变号法]由解法一可知，d＝－213a1.要使Sn最大，则有an≥0，an＋1≤0，即a1＋n－1－213a1≥0，a1＋n－213a1≤0，解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．[答案]7探究1若条件变为“数列{an}满足an＝26－2n”，问题不变．解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋nn－12×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2522＋6254.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．答案：12、13探究2若条件变为“7a5＋5a9＝0且a9a5”，问题变为求Sn最小时n的值．解析：∵a9a5，∴公差d0.由7a5＋5a9＝0，得7(a1＋4d)＋5(a1＋8d)＝0，∴d＝－317a1.由an＝a1＋(n－1)d≤0，解得n≤203，即使Sn取得最小值的n等于6.答案：6探究3若条件变为：“首项a10，a2009＋a20100，a2009·a20100”，求使Sn0成立的最大自然数n.解析：∵a10，a2009＋a20100，a2009·a20100，且{an}是等差数列，∴{an}表示首项是正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2009是绝对值最小的正数，a2010是绝对值最小的负数(第一个负数)，且|a2009||a2010|，∵在等差数列{an}中，a2009＋a2010＝a1＋a40180，S4018＝4018a1＋a401820，∴使Sn0成立的最大自然数n是4018.答案：4018[方法总结]求等差数列的前n项和Sn的最值的两种思路(1)将Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n配方．转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法当a10，d0时，满足an≥0，an＋1≤0的项数n使Sn取最大值．当a10，d0时，满足an≤0，an＋1≥0的项数n使Sn取最小值．特别地，若a10，d0，则S1是{Sn}的最小值；若a10，d0，则S1是{Sn}的最大值．题型二与等差数列有关的求和问题多维探究与等差数列有关的求和问题，常见的角度有：1．求数列{|an|}的前n项和．2．裂项法求数列的前n项和．角度1求数列{|an|}的前n项和【例2】在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．[解]等差数列{an}的公差d＝a17－a117－1＝－12－(－60)16＝3，∵an＝a1＋(n－1)d＝－60＋3(n－1)＝3n－63，令an0，即3n－630，则n21.∴等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数，设Sn和Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和．当n≤20时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋3nn－12＝－32n2＋1232n；当n20时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋3nn－12－2×－60×20＋20×192×3＝32n2－1232n＋1260，∴数列{|an|}的前n项和为Sn′＝－32n2＋1232n，n≤20，32n2－1232n＋1260，n20.[方法总结]已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a10，d0(或a10，d0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．角度2裂项法求数列的前n项和【例3】等差数列{an}前n项和为Sn，且S5＝45，S6＝60.(1)求{an}的通项公式an；(2)若数列{an}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)且b1＝3，求1bn的前n项和Tn.[解](1)设等差数列{an}的公差为d，∵S5＝45，S6＝60，∴5a1＋5×42d＝45，6a1＋6×52d＝60，解得a1＝5，d＝2.∴an＝5＋(n－1)×2＝2n＋3.(2)∵bn＋1－bn＝an＝2n＋3，b1＝3，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝[2(n－1)＋3]＋[2(n－2)＋3]＋…＋(2×1＋3)＋3＝2×nn－12＋3n＝n2＋2n.∴1bn＝1nn＋2＝121n－1n＋2.∴Tn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－12n＋1－12n＋2.[方法总结]裂项相消法求数列的和裂项相消法求数列的和，主要适用于数列的通项公式是分式．常见的裂项有(1)若{an}是等差数列，则1anan＋1＝1d1an－1an＋1，1anan＋2＝12d1an－1an＋2.(2)1nn＋k＝1k1n－1n＋k.(3)14n2－1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1.(4)n＋1－nn＋1n＝1n－1n＋1.(5)n＋1n2n＋22＝141n2－1n＋22.(6)2n22n－12n＋1＝1＋1212n－1－12n＋1.1．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝_____________.解析：∵an＝2n－7，∴当n≤3时，an0；当n≥4时，an0.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋…＋a15)＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3＋…＋a15)＝S15－2S3＝15a1＋a152－2×3a1＋a32.又∵a1＝－5，a15＝23，a3＝－1，∴S15－2S3＝15－5＋232－2×3－5－12＝135＋18＝153.答案：1532．在等差数列{an}中，a1＝2，公差d＝2，Sn为前n项和，求1S1＋1S2＋…＋1Sn－1＋1Sn.解：∵等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝2，∴前n项和Sn＝na1＋nn－12d＝2n＋nn－12×2＝n2＋n，∴1Sn＝1n2＋n＝1nn＋1＝1n－1n＋1.∴1S1＋1S2＋…＋1Sn－1＋1Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.知识归纳自我测评堂内归纳提升1．掌握1个关键——数列{|an|}前n项和求法关键点求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．2．掌握2种方法——等差数列前n项和最值求法(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a10，d0，an≥0，an＋1≤0时，Sn取得最大值；当a10，d0，an≤0，an＋1≥0时，Sn取得最小值．3．记住3种常见变形等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形(1)Sn＝n·a1＋an2；(2)Sn＝d2n2＋a1－d2n；(3)Snn＝d2n＋a1－d2Snn是公差为d2的等差数列．「自测检评」1．在等差数列{an}中，S160，S170，当其前n项和取得最大值时，n＝()A．16B．8C．9D．17解析：选B∵S16＝16×a1＋a162＝8(a8＋a9)0，∴a8＋a90；又S17＝17a90，∴a80，a90，∴前8项之和最大．故选B.2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()A.310B．13C.18D．19解析：选A∵S3S6＝3a1＋3d6a1＋15d＝13，∴a1＝2d，∴S6S12＝6a1＋15d12a1＋66d＝12d＋15d24d＋66d＝310.故选A.3．已知数列{an}为等差数列，若a11a10－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的最大值n为()A．11B．19C．20D．21解析：选B∵Sn有最大值，∴a10，d0，∵a11a10－1，∴a110，a100，∴a10＋a110，∴S20＝20a1＋a202＝10(a10＋a11)0，又S19＝19a1＋a192＝19a100，故选B.4．若等差数