2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和（第1课时）等差数列的前

第二章数列2.2等差数列2.2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和学习目标核心素养1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)3．能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点)1.借助等差数列前n项和公式的推导，培养学生数据分析的素养．2．通过等差数列前n项和公式的学习及应用，提升学生的数学运算的素养.自主预习探新知1．数列的前n项和的概念一般地，称_______________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝_______________.2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝____________Sn＝______________a1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋anna1＋an2na1＋nn－12d思考：已知n，an，d能求a1吗？[提示]能，a1＝an＋(1－n)d，然后代入公式．D[由S10＝10a1＋a102＝120，得a1＋a10＝24.]1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝()A．10B．12C．20D．242．已知{an}是等差数列，a1＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝()A．－23B．－13C．13D．23A[S10＝10a1＋10×92d＝70，又a1＝10，所以d＝－23.]nn＋12[因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋nn－12×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝nn＋12.]3．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝________.合作探究提素养等差数列Sn中基本量的计算【例1】在等差数列{an}中．(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；(3)已知a16＝3，求S31.[解](1)∵Sn＝na1＋12n(n－1)d，∴8a1＋28d＝48，12a1＋66d＝168，解方程组得a1＝－8，d＝4.(2)∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5，解方程组得a1＝－5，d＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.(3)S31＝a1＋a312×31＝a16×31＝3×31＝93.a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．1．在等差数列{an}中．(1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.[解](1)由题意，得Sn＝na1＋an2＝n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.(2)由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.(3)由an＝a1＋n－1d，Sn＝na1＋nn－12d，得a1＋2n－1＝11，na1＋nn－12×2＝35，解方程组得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.等差数列前n项和公式的实际应用【例2】某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？[解]从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．2．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？[解](1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n＋nn－12＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去).第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n＋nn－12＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．等差数列的前n项和公式推导[探究问题]1．某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？[提示]在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数分别记为a1，a2，…，a6，则数列{an}构成一个以a1＝4为首项，以d＝1为公差的等差数列，设此时钢管总数为S6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层有a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝…＝a6＋a1＝13(根)，此时钢管总数为2S6＝(a1＋a6)×6＝13×6＝78(根)，原来钢管总数为S6＝a1＋a62×6＝39(根)．2．通过探究1，你能推导出等差数列{an}的求和公式吗？[提示]Sn＝a1＋a2＋…＋an，①把数列{an}各项顺序倒过来相加得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1，②①＋②得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，则Sn＝a1＋ann2.3．你能用a1，d，n表示探究2中的公式吗？该结果与Sn＝a1＋ann2有什么区别与联系．[提示]Sn＝a1＋ann2＝[a1＋a1＋n－1d]n2＝a1n＋nn－1d2，即Sn＝a1n＋nn－1d2.该公式是由探究2中的公式推导得出，都是用来求等差数列的前n项和，在求解时都可以“知三求一”，求Sn时，都需知a1，n，不同在于前者还需知an，后者还需知d．【例3】(1)已知等差数列{an}中，若a1009＝1，求S2017；(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，求a5b5.[思路探究]由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解．[解](1)法一：∵a1009＝a1＋1008d＝1，∴S2017＝2017a1＋2017×20162d＝2017(a1＋1008d)＝2017.法二：∵a1009＝a1＋a20172，∴S2017＝a1＋a20172×2017＝2017a1009＝2017.(2)法一：a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.法二：∵SnTn＝2n＋2n＋3＝n2n＋2nn＋3，∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，∴a5b5＝2012＝53.1．若{an}是等差数列，则Sn＝a1＋an2·n＝na中(a中为a1与an的等差中项)．2．若{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.3．在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17.[解]法一：∵a1＋a17＝a3＋a15，∴S17＝17×a1＋a172＝17×a3＋a152＝17×402＝340.法二：∵a3＋a15＝2a1＋16d＝40，∴a1＋8d＝20，∴S17＝17a1＋17×162d＝17(a1＋8d)＝17×20＝340.法三：∵a3＋a15＝2a9＝40，∴a9＝20，∴S17＝17a9＝340.1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项一直到第n项的和．()(2)等差数列的前n项和是二次函数模型．()(3)等差数列的前n项和可能是一次函数模型．()[答案](1)√(2)×(3)√2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1B[等差数列前n项和的形式为Sn＝an2＋bn，又Sn＝(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0.即λ＝－1，故选B．]190[S19＝19a1＋a192＝19·2a102＝19a10＝190.]3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.4．再过5天就是小明妈妈的生日，小明准备给妈妈买一份礼物，他从今天开始存钱，第一天存1元钱，以后每天比前一天多存1元钱，到第5天，小明共有多少元？[解]根据题意知，小明每天存的钱数构成首项为1，公差为1的等差数列，设数列为{an}，其前n项和为Sn，到第5天小明共有S5＝1×5＋5×42×1＝15(元)．