2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和 第二课时 等差数列习题

2．2等差数列2．2.2等差数列的前n项和第二课时等差数列习题课自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．掌握根据Sn求an的方法．2．会求等差数列前n项和的最值．3．掌握裂项法求和.1．等差数列前n项和的最值(1)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为___________项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最___________值；负数小(2)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为___________项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最___________值．特别地，若a1＞0，d＞0，则___________是{Sn}的最___________值；若a1＜0，d＜0，则___________是{Sn}的最___________值．正数大S1小S1大(3)利用等差数列的前n项和公式Sn，结合二次函数求最值．通过配方得Sn＝An＋B2A2－B24A，利用二次函数的性质求最值，但特别注意n∈N*，所以n为最接近－B2A的正整数时，Sn取最值．(4)利用等差数列的通项公式an，结合数列的单调性求最值．利用数列的单调性求最值时，我们要搞清取得最值的根本原因，实际上可以这样来分析：①d＞0⇔{an}为___________，若a1＞0，则S1＝a1最小；若a1＜0，则满足an≤0，an＋1≥0的n对应的Sn最小．②d＜0⇔{an}为___________，若a1＜0，则S1＝a1最大；若a1＞0，则满足an≥0，an＋1≤0的n对应的Sn最大．递增数列递减数列2．数列的通项与前n项和的关系(1)数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an与an有如下关系：____________________(2)已知Sn，求an若已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式an时，要分两步进行：先求当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，再令n＝1，求a1.an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.若a1＝S1，则an即为所求，若a1≠S1，则an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，即表示为分段函数形式．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a5＝()A．15B．8C．7D．9解析：a5＝S5－S4＝(52－10)－(42－8)＝7.答案：C2．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝10，且5S1S5＝15，则a2＝________.解析：由5S1S5＝15，得S1S5＝25，即5a1a3＝25，∴a1a3＝5，又a1a2a3＝10，∴a2＝2.答案：23．已知数列{an}中，a1＝－30，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝________.解析：由题可知，数列{an}为等差数列，公差为3，∴an＝－30＋3(n－1)＝3n－33.|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝30＋27＋24＋…＋0＋3＋…＋12＝10×3＋302＋5×0＋122＝195.答案：195典例精析规律总结课堂互动探究(2019·黑龙江哈尔滨期中)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18【解析】解法一：由题可得a1＋a1＋2d＋a1＋4d＝105，a1＋d＋a1＋3d＋a1＋5d＝99，∴a1＝39，d＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝41－2n，∴当n＝20时，a20＝10，当n＝21时，a21＝－10，∴使Sn达到最大值的n为20.解法二：同解法一可得a1＝39，d＝－2，∴Sn＝39n＋nn－12·(－2)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，∴当n＝20时，Sn有最大值，故选B.【答案】B【知识点拨】求数列前n项和的最值问题的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可．这是因为：当an＞0时，Sn＞Sn－1，即Sn单调递增；当an＜0时，Sn＜Sn－1，即Sn单调递减．(2018·河北邯郸月考)等差数列{an}的公差d0，且a21＝a211，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是()A．5B．6C．5或6D．6或7解析：∵d0，由a21＝a211，得a1＝－a11，∴a1＋a11＝0，∴a6＝0，∴a50，a70，∴当n＝6或n＝5时，Sn最大，故选C.答案：C已知下列各数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝(－1)n＋1n；(2)Sn＝3n－2.【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1n－(－1)n(n－1)＝(－1)n(－2n＋1)，由于a1也符合此等式，因此an＝(－1)n(－2n＋1)(n∈N*)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1.∵a1＝1不符合an＝2·3n－1，∴an＝1n＝1，2·3n－1n≥2.【知识点拨】已知数列{an}的前n项和Sn或Sn与an的关系式，求通项an有如下关系an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，特别当n≥2时，若求出an也符合n＝1，可直接写成an＝Sn－Sn－1,否则分段表示．(2018·甘肃威武月考)若数列{an}前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n＋1－[(n－1)2＋2(n－1)＋1]＝2n＋1，当n＝1时，2×1＋1＝3≠4，∴an＝4，n＝1，2n＋1，n≥2.答案：4，n＝1，2n＋1，n≥2等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】(1)由a1＝10，a2为整数，可知等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，∴10＋3d≥0，10＋4d≤0，∴－103≤d≤－52，∴d＝－3.∴数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝1anan＋1＝113－3n10－3n＝13110－3n－113－3n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1317－110＋14－17＋…＋110－3n－113－3n＝13110－3n－110＝n1010－3n.【知识点拨】1.若数列{an}是等差数列，公差为d，则和式Tn＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1an－1an可用裂项法求和，具体过程如下：∵1an－1·an＝1d1an－1－1an，∴Tn＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1－1an＝1d1a1－1an＝n－1a1an.2．裂项法求和是数列求和的一种常用方法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数列的前n项和．常用到的裂项公式有如下形式：(1)1nn＋k＝1k1n－1n＋k；(2)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)．(2019·福建三校联考)已知等差数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，且a2＝5，S5＝35.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列1Sn－n的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由题得a1＋d＝5，5a1＋5×42d＝35，∴a1＝3，d＝2.∴an＝2n＋1.(2)由(1)可得Sn＝n3＋2n＋12＝n(n＋2)，∴1Sn－n＝1n2＋n＝1n－1n＋1，∴Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.即学即练稳操胜券基础知识达标1．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12解析：设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得，33×2＋3×22·d＝2×2＋d＋4×2＋4×32·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10，故选B.答案：B2．(2018·河南长葛质检)已知等差数列{an}满足a5＝3，a7＝－3，则数列{|an|}的前10项和为()A．15B．75C．45D．60解析：由a5＝3，a7＝－3，得a1＋4d＝3，a1＋6d＝－3，∴a1＝15，d＝－3，∴an＝18－3n，∴当n≤6时，an≥0，当n≥7时，an＜0，∴S10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝6a1＋a62－4a7＋a102＝615＋02－2(－3－12)＝75，故选B.答案：B3．(2019·河北鸡泽月考)已知{an}为等差数列，若a11a10－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝()A．11B．17C．19D．21解析：由a11a10－1得a11＋a10a100，由Sn有最大值，知公差d0，∴a11a10，∴a100，a11＋a100，∴a110，∴S19＝19a100，S20＝10a1＋a202＝5(a11＋a10)0，∴当n＝19时，Sn取得最小正值，故选C.答案：C4．(2018·北京丰台月考)在数列{an}中，an＋1＝an＋2，且a1＝1，则1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1a9a10＝()A.919B．1819C.1021D.2021解析：由an＋1＝an＋2，可知数列{an}是等差数列，公差d＝2.∴an＝2n－1，∴1a1a2＋1a2a3＋…＋1a9a10＝11×3＋13×5＋…＋117×19＝121－13＋13－15＋…＋117－119＝919，故选A.答案：A5．设等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－21n.(1)求数列的通项公式an；(2)求Sn的最小值．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝12－21×1＝－20，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－22，n＝1时也满足上式，∴数列的通项公式为an＝2n－22，(2)Sn＝n2－21n＝n－2122－4414，∴当n＝10或n＝11时，(Sn)min＝－110.