2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.1 等差数列（第1课时）等差数列课件 新人教B

第二章数列2.2等差数列2.2.1等差数列第1课时等差数列学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)1.借助等差数列概念的学习，培养学生的数学抽象的素养．2．通过等差数列通项公式的求解与运用，提高学生的数学运算的素养.自主预习探新知1．等差数列的概念如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的差都等于_______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______．2同一个公差思考：等差数列的定义用符号怎么表示？[提示]an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．2．等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的__________，且A＝x＋y2.等差中项思考：任意两数都有等差中项吗？[提示]是．3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝__________．a1＋(n－1)d思考：等差数列的通项公式是什么函数模型？[提示]d≠0时，一次函数，d＝0时，常值函数．4．等差数列的单调性等差数列{an}中，若公差d0，则数列{an}为_____数列；若公差d0，则数列{an}为_____数列．递增递减1．下列数列中不是等差数列的为()A．6,6,6,6,6B．－2，－1,0,1,2C．5,8,11,14D．0,1,3,6,10D[A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；B中给出的数列是等差数列，公差为1；C中给出的数列是等差数列，公差为3；D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．]6－2n[∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.]2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________.－3[设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝x1＋x22＝－3.]3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．合作探究提素养等差数列的概念【例1】已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列？[思路探究]可以利用a1和d写出bn的通项公式，也可以直接利用定义判断bn＋1－bn是不是常数．[解]法一：由题意可知an＝a1＋(n－1)d(a1，d为常数)，则bn＝3an＋4＝3[a1＋(n－1)d]＋4＝3a1＋3(n－1)d＋4＝3dn＋3a1－3d＋4.由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d＝0时)，故{bn}是等差数列．法二：根据题意，知bn＋1＝3an＋1＋4，则bn＋1－bn＝3an＋1＋4－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d(常数)．由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}为等差数列；(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列()A．是公差为4的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为－3的等差数列D．是首项为4的等差数列C[∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3.∴{an}是公差为－3的等差数列．]等差中项及其应用【例2】(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．[解](1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②将②代入①，得p＝1.三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．2．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A．3B．2C．13D．12A[因为a＋b＝13＋2＋13－2＝3－2＋3＋23＋23－2＝2332－22＝23，所以a，b的等差中项为3.]等差数列的通项公式及其应用[探究问题]1．某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第1盏后，往后每隔50米安装1盏，试问安装第5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米？你能用第1盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？[提示]设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为a2，第n盏路灯到第1盏路灯的距离记为an，则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝0为首项，以d＝50为公差的一个等差数列．所以有a1＝0，a2＝a1＋d＝0＋50＝50，a3＝a2＋d＝a1＋2d＝0＋2×50＝100，a4＝a3＋d＝a1＋3d＝0＋3×50＝150，a5＝a4＋d＝a1＋4d＝0＋4×50＝200，…an＝a1＋(n－1)d＝50n－50，所以，第5盏路灯距离第1盏路灯200米，第n盏路灯距离第1盏路灯(50n－50)米．2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？[提示]设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为an，则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝1896为首项，以d＝4为公差的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1896＋4(n－1)＝4n＋1892，即an＝4n＋1892，由an＝2016，知4n＋1892＝2016，所以n＝31.故2016年举行的奥运会为第31届．已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．3．在等差数列{an}中，能用a1，d两个基本量表示an，那么能否用{an}中任意一项am和d表示an?[提示]由an＝a1＋(n－1)d，①am＝a1＋(m－1)d，②两式相减可得：an－am＝(n－m)d，则an＝am＋(n－m)d．【例3】(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝54，a7＝－74，求a15的值．[思路探究]设出基本量a1，d．利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．[解](1)法一：∵a4＝7，a10＝25，则a1＋3d＝7，a1＋9d＝25，得a1＝－2，d＝3.∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．法二：∵a4＝7，a10＝25，∴a10－a4＝6d＝18，∴d＝3，∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．(2)法一：由a3＝54，a7＝－74，得a1＋2d＝54，a1＋6d＝－74，解得a1＝114，d＝－34.∴a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×－34＝－314.法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，解得d＝－34.∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×－34＝－314.1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1＋m－1d＝a，a1＋n－1d＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．3．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？[解]由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.由题意知，－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．1．本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列的通项公式，难点是等差数列的证明．2．掌握判断一个数列是等差数列的常用方法：(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．3．会灵活运用等差数列的通项公式解决问题．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式．反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外一个量．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)如果一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．()(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()[解析](1)×.由等差数列的概念可知．(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.(3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列．(4)√.因为a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列()A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列A[∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差为2的等差数列．]39[∵5，x，y，z,21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.]3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z＝________.4．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．[解]法一：因为{an}是等差数列，设公差为d，由a15＝8，a60＝20，得a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.所以a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.法二：因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．设这个等差数列的公差为d，则a15为首项，a60为第4项，所以a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4，所以a75＝a60＋d＝20＋4＝24.法三：因为{an}是等差数列，设其公差为d．因为a60＝a15＋(60－15)d，所以d＝20－860－15＝415，所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×415＝24.