2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学）课件 新人教B版必修

第二章数列2.1数列2.1.2数列的递推公式(选学)学习目标核心素养1．理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会求数列中的最大(小)项．(易错点)1．通过数列递推公式的学习，培养学生的逻辑推理的素养．2．通过递推公式的应用学习，提升学生的数据分析的素养.自主预习探新知1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的_______________；②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的_____公式．第1项(或前几项)递推思考：由数列的递推公式能否求出数列的项？[提示]能，但是要逐项求．2．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项_____(或前几项)之间的关系表示an与__之间的关系联系(1)都是表示______的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式an－1n数列1．已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，则该数列的第5项等于()A．6B．7C．8D．9C[因为an＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.所以a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.]4[依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝32a2＝3；当n＝4时，a4＝43a3＝4.]2．已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝nn－1·an－1(n≥2)，则a4＝________.3[因为a1＝－12，an＋1＝1－1an，所以a2＝1－1a1＝1＋2＝3，a3＝1－13＝23，a4＝1－32＝－12，a5＝1＋2＝3.]3．已知数列{an}中，a1＝－12，an＋1＝1－1an，则a5＝______________.合作探究提素养由递推关系写数列的项【例1】(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2018＝2，则a2019＝()A．－13B．13C．－12D．12(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为()A．31B．32C．61D．62(1)B(2)A[(1)由anan＋1＝1－an＋1，得an＋1＝1an＋1，又∵a2018＝2，∴a2019＝13，故选B．(2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.]由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝an－12.1．已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝2anan＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解]∵a1＝1，an＋1＝2anan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.数列的最大(小)项的求法【例2】已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)1011n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．[解]法一：∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)·1011n＝1011n·9－n11，当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n9时，an＋1－an0，即an＋1an，故a1a2a3…a9＝a10a11a12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a9＝a10＝1010119.法二：设ak是数列{an}的最大项．则ak≥ak－1，ak≥ak＋1，即k＋11011k≥k1011k－1，k＋11011k≥k＋21011k＋1，整理得10k＋10≥11k，11k＋11≥10k＋20，得9≤k≤10，所以k＝9或10，即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝1010119.求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．二是设ak是最大项，则有ak≥ak－1，ak≥ak＋1对任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式组即可．2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[解](1)由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，可知对称轴方程为n＝52＝2.5.又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n项最小，由an≤an＋1，an≤an－1，得n2－5n＋4≤n＋12－5n＋1＋4，n2－5n＋4≤n－12－5n－1＋4.解这个不等式组，得2≤n≤3，∴n＝2,3，∴a2＝a3且最小，∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.数列的递推公式与通项公式的关系[探究问题]1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？[提示]由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．2．在数列{an}中，a1＝3，an＋1an＝2，照此递推关系，你能写出{an}任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？[提示]按照an＋1an＝2可得a2a1＝2，a3a2＝2，a4a3＝2，…，anan－1＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝2·2·…·2.则ana1＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N＋)．3．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？[提示]由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，将这些式子两边分别相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．【例3】设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1＝nn＋1an(n∈N＋)，求数列的通项公式．[思路探究]由递推公式，分别令n＝1,2,3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an＋1＝nn＋1an反复迭代；或将an＋1＝nn＋1an变形为an＋1an＝nn＋1进行累乘；或将an＋1＝nn＋1an变形式n＋1an＋1nan＝1，构造数列{nan}为常数列．[解]因为an＋1＝nn＋1an.法一：(归纳猜想法)a1＝1，a2＝12×1＝12，a3＝23×12＝13，a4＝34×13＝14，…猜想an＝1n.法二：(迭代法)因为an＋1＝nn＋1an，所以an＝n－1nan－1＝n－1n·n－2n－1an－2＝…＝n－1n·n－2n－1·…·12a1，从而an＝1n.法三：(累乘法)因为an＋1＝nn＋1an，所以an＋1an＝nn＋1，则anan－1·an－1an－2·…·a2a1＝n－1n·n－2n－1·…·12，所以an＝1n.法四：(转化法)因为an＋1an＝nn＋1，所以n＋1an＋1nan＝1，故数列{nan}是常数列，nan＝a1＝1，所以an＝1n.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．(2)累乘法：当anan－1＝g(n)时，常用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1求通项公式．3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明．[解]a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14，猜想：an＝3n－1.证明如下：由an＋1＝an＋3得a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，a4＝a3＋3，…，an＝an－1＋3.将上面的(n－1)个式子相加，得an－a1＝3(n－1)，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.1．本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质的应用及由递推公式求数列的通项公式．2．要掌握判断数列单调性的方法，掌握求数列最大(小)项的方法．3．要会用数列的递推公式求数列的项或通项．4．要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．()(2)有些数列可能不存在最大项．()(3)递推公式是表示数列的一种方法．()(4)所有的数列都有递推公式．()[解析](1)√.只需将项数n代入即可求得任意项．(2)√.对于无穷递增数列，是不存在最大项的．(3)√.递推公式也是给出数列的一种方法．(4)×.不是所有的数列都有递推公式．例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式．[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1an＝12，则数列{an}的通项公式是()A．an＝2nB．an＝12nC．an＝12n－1D．an＝1n2C[a1＝1，a2＝12，a3＝14，a4＝18，观察得an＝12n－1.]194[由an＋1＝2an－1，得an＝12(an＋1＋1)，∴a7＝12(a8＋1)＝172，a6＝12(a7＋1)＝194.]3．若数列{an}满足an＋1＝2an－1，且a8＝16，则a6＝___________.4．已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝an－11－an－1(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．[解]可依次代入项数进行求值．a1＝2，a2＝21－2＝－2，a3＝－21－－2＝－23，a4＝－231－－23＝－25，a5＝－251－－25＝－27.即数列{an}的前5项为2，－2，－23，－25，－27.也可写为－2－1，－21，－23，－25，－27.即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以an＝－22n－3(n∈N＋)．