2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量章末总结归纳课件 新人教B版必修4

第二章平面向量章末总结归纳平面向量的线性运算专题11.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫做向量的线性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础．2．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形法则的应用．如图所示，在△ABC中，BD→＝12DC→，AE→＝3ED→，若AB→＝a，AC→＝b，则BE→等于()A.13a＋13bB.－12a＋14bC.12a＋14bD.－13a＋13b【解析】BE→＝BA→＋AE→＝BA→＋34AD→＝BA→＋34(AB→＋BD→)＝BA→＋34AB→＋34BD→＝－14AB→＋34×13BC→＝－14AB→＋14(BA→＋AC→)＝－12AB→＋14AC→＝－12a＋14b.故选B.【答案】B平面向量的坐标运算专题21.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F.求AF的长(用m、n表示)．【解】如图建立平面直角坐标系，则A(0，m)，B(n,0)．(1)证明：∵D是AB的中点，Dn2，m2，∴|CD→|＝12n2＋m2.又|AB→|＝m2＋n2，∴|CD→|＝12|AB→|，即CD＝12AB.(2)由E为CD的中点知En4，m4.设F(x,0)，则AE→＝n4，－34m，AF→＝(x，－m)．∵A，E，F三点共线，∴设AF→＝λAE→，即(x，－m)＝λn4，－34m.∴x＝n4λ，－m＝－34mλ，解得x＝n3，∴点F的坐标为n3，0，∴AF→＝n3，－m，∴|AF→|＝13n2＋9m2.即AF＝13n2＋9m2.平面向量的数量积及其应用专题3平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量的垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)|ka＋b＋c|1(k∈R)，求k的取值范围．【解】(1)证明：∵(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，∴(a－b)⊥c.(2)∵|ka＋b＋c|1，∴|ka＋b＋c|21，∴k2a2＋b2＋c2＋2ka·c＋2ka·b＋2b·c1，即k2＋1＋2k(a·c＋a·b)＋2b·c0.∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且它们相互之间的夹角为120°，∴a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝c·a＝－12，∴k2－2k0，∴k2或k0，即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．向量的综合应用专题4如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ→与BC→的夹角θ取何值时BP→·CQ→的值最大？并求出这个最大值．【解】解法一：∵AB→⊥AC→，∴AB→·AC→＝0.又AP→＝－AQ→，BP→＝AP→－AB→，CQ→＝AQ→－AC→，∴BP→·CQ→＝(AP→－AB→)·(AQ→－AC→)＝AP→·AQ→－AP→·AC→－AB→·AQ→＋AB→·AC→＝－a2－AP→·AC→＋AB→·AP→＝－a2＋AP→·(AB→－AC→)＝－a2＋12PQ→·BC→＝－a2＋a2cosθ，故当cosθ＝1，即θ＝0(PQ→与BC→方向相同)时，BP→·CQ→最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB→|＝c，|AC→|＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ→|＝2a，|BC→|＝a.设点P的坐标为(x，y)，则Q(－x，－y)，∴BP→＝(x－c，y)，CQ→＝(－x，－y－b)，BC→＝(－c，b)，PQ→＝(－2x，－2y)．∴BP→·CQ→＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.∵cosθ＝PQ→·BC→|PQ→||BC→|＝cx－bya2，∴cx－by＝a2cosθ，即BP→·CQ→＝－a2＋a2cosθ.故当cosθ＝1，即θ＝0(PQ→与BC→方向相同)时，BP→·CQ→最大，其最大值为0.在四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，若a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试判断四边形ABCD的形状．【解】∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0，∴b⊥(a－c)．同理可得d⊥(a－c)，∴b∥d，同理可得a∥c.∴四边形ABCD为平行四边形．又b⊥(a－c)，∴b⊥a，∴四边形ABCD为矩形．1．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a与a＋2b垂直，则m的值为()A.12B.－12C．－1D.1解析：∵a⊥(a＋2b)，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝10＋2(－2＋3m)＝6＋6m＝0，∴m＝－1，故选C.答案：C2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则向量a，b的夹角为()A.π3B.2π3C.π6D.5π6解析：由|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，可知，以a，b为邻边的四边形OACB，如图所示，OC→＝OA→＋OB→，∴△AOC是等边三角形，∴∠COA＝π3，∴∠BOA＝2π3，故选B.答案：B3．在△ABC中，D是BC的中点，AB＝4，AC＝3，则AD→·BC→＝()A．－7B.2C．－72D.72解析：AD→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(AC→2－AB→2)＝12(9－16)＝－72.故选C.答案：C4．点C在线段AB上，且AC→＝35AB→，AC→＝λBC→，则λ为()A.23B.32C．－32D.－23解析：AC→＝35AB→＝35(AC→＋CB→)，∴25AC→＝35CB→，∴AC→＝32CB→＝－32BC→，∴λ＝－32.答案：C5．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．解析：设A(a,2a)(a0)，则由圆心C为AB中点得Ca＋52，a，易得⊙C：(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0，与y＝2x联立解得点D的横坐标xD＝1，所以D(1,2)．所以AB→＝(5－a，－2a)，CD→＝1－a＋52，2－a，由AB→·CD→＝0得(5－a)1－a＋52＋(－2a)(2－a)＝0，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，因为a0，所以a＝3.答案：3