2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量章末总结归纳课件 北师大版必修4

第二章平面向量章末总结归纳1平面向量的线性运算专题1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础．2．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形法则的应用．如图，已知P为△ABC内一点，且3AP→＋4BP→＋5CP→＝0，延长AP交BC于点D，若AB→＝a，AC→＝b，用a、b表示向量AP→，AD→.【解】∵BP→＝AP→－AB→＝AP→－a，CP→＝AP→－AC→＝AP→－b，又∵3AP→＋4BP→＋5CP→＝0.∴3AP→＋4(AP→－a)＋5(AP→－b)＝0，∴AP→＝13a＋512b.设AD→＝tAP→(t∈R)，则AD→＝13ta＋512tb.①又设BD→＝kBC→(k∈R)，由BC→＝AC→－AB→＝b－a，得BD→＝k(b－a)．而AD→＝AB→＋BD→＝a＋BD→.∴AD→＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，②由①②得13t＝1－k，512t＝k，解得t＝43.代入①得AD→＝49a＋59b.∴AP→＝13a＋512b，AD→＝49a＋59b.2平面向量的数量积专题平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量的垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．已知|a|＝2，|b|＝1.(1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|；(2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ.【解】(1)|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝2－2×2×1×22＋1＝1.(2)∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝2×1×cosθ－1＝0，∴cosθ＝22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.3平面向量的坐标运算专题1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题．已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)．(1)当x，y为何值时，a与b共线？(2)是否存在实数x，y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)因为a与b共线，所以存在实数λ，使得a＝λb，所以2x－y＋1＝2λ，x＋y－2＝－2λ，解得x＝13，y∈R.所以当x＝13，y为任意实数时，a与b共线．(2)由a⊥b⇒a·b＝0⇒(2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0⇒x－2y＋3＝0.①由|a|＝|b|⇒(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.②联立①②解得x＝－1，y＝1或x＝53，y＝73.所以xy＝－1或xy＝359.所以存在实数x，y，使得a⊥b，且|a|＝|b|，此时xy＝－1或xy＝359.4平面向量的应用专题平面向量的应用主要体现在三个方面：一是在平面几何上的应用，向量的加减和数乘运算法则，线段相等、平行、垂直、距离和夹角等平面几何的相关问题；二是在解析几何上的应用，主要是利用向量的平行和垂直条件求直线方程；三是在物理中的应用，主要解决力、速度等问题．平面内三个力F1，F2，F3作用于同一点，且处于平衡状态，已知F1，F2的大小分别为1N，6＋22N，F1与F2的夹角是45°，求F3的大小及F3与F1的夹角．【解】如图所示，按向量加法的平行四边形法则作F1，F2的合力F，则F3＝－F，F＝F1＋F2.∵F1与F2的夹角是45°，∴|F|2＝|F1＋F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2＝12＋6＋222＋2|F1||F2|cos45°＝1＋(2＋3)＋2×1×6＋22×22＝23＋4＝(3＋1)2，∴|F|＝3＋1，即F3的大小为(3＋1)N.设F1与F的夹角为θ，则F1·F＝|F1||F|cosθ＝1×(3＋1)×cosθ＝(3＋1)cosθ.又∵F1·F＝F1·(F1＋F2)＝|F1|2＋|F1||F2|cos45°＝1＋1×6＋22×22＝3＋32，∴(3＋1)cosθ＝3＋32，即cosθ＝32.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，∴F3与F1的夹角为150°.故F3的大小为(3＋1)N，F3与F1的夹角为150°.1．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()A．2B．3C．5D．7解析：|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4b2＋4a·b＝1＋4＋4×－12＝3.答案：B2．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A．π3B．π2C．2π3D．5π6解析：∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，∴a·b＝－2a2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－2a24a2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案：C3．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则AP→·OP→的最小值为()A．－1B．－18C．－14D．－12解析：解法一：设|OP→|＝x(x≥0)，由题意可得AP→·OP→＝(AO→＋OP→)·OP→＝AO→·OP→＋OP2→＝－22x＋x2，由二次函数的图像易知，当x＝24时，AP→·OP→取得最小值，且最小值为－18.解法二：以O为坐标原点，OB、OA所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(1,0)，A(0,1)，设P(x，x)，x∈[0，＋∞)，AP→·OP→＝(x，x－1)·(x，x)＝2x2－x，x≥0，当x＝14时，AP→·OP→取得最小值－18，故选B．答案：B4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A．55B．15C．－55D．－15解析：a－c＝(3－k,3)，因为(a－c)∥b，所以(3－k)×3＝3×1，解得k＝2，当k＝2时，cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝410×22＝55，故选A．答案：A5．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.解析：由题可得2a＋b＝(4,2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝12.答案：12