2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量单元质量测评课件 新人教A版必修4

课后课时精练本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→化简后等于()A．BC→B．AB→C．AC→D．AM→解析原式＝AB→＋BO→＋OM→＋MB→＋BC→＝AC→.2．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且AD→＝2AB→－3BC→，则点D的坐标为()A．(2,16)B．(－2，－16)C．(4,16)D．(2,0)解析设D(x，y)，由题意可知AD→＝(x＋1，y－2)，AB→＝(3,1)，BC→＝(1，－4)，所以2AB→－3BC→＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)，所以x＋1＝3，y－2＝14，所以x＝2，y＝16.3．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3解析∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为()A．150°B．120°C．60°D．30°解析设向量a，b的夹角为θ，则|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，则cosθ＝－12.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.5．设非零向量a，b，c，若p＝a|a|＋b|b|＋c|c|，则|p|的取值范围为()A．[0,1]B．[1,2]C．[0,3]D．[1,3]解析∵a|a|，b|b|，c|c|分别为a，b，c方向上的单位向量，∴当a，b，c同向时，|p|取最大值3，|p|的最小值为0.6．向量BA→＝(4，－3)，向量BC→＝(2，－4)，则△ABC的形状为()A．等腰非直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形解析∵BA→＝(4，－3)，BC→＝(2，－4)，∴AC→＝BC→－BA→＝(－2，－1)，∴CA→·CB→＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C＝90°，且|CA→|＝5，|CB→|＝25，|CA→|≠|CB→|.∴△ABC是直角非等腰三角形．7．在△ABC中，若|AB→|＝1，|AC→|＝3，|AB→＋AC→|＝|BC→|，则AB→·BC→|BC→|＝()A．－32B．－12C．12D．32解析由向量的平行四边形法则，知当|AB→＋AC→|＝|BC→|时，∠A＝90°.又|AB→|＝1，|AC→|＝3，故∠B＝60°，∠C＝30°，|BC→|＝2，所以AB→·BC→|BC→|＝|AB→||BC→|cos120°|BC→|＝－12.8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为BC的中点，点F在CD上．若AB→·AF→＝3，则AE→·BF→的值是()A．－5－3B．5＋3C．4＋3D．5－3解析如图，过点F作FG⊥AB于点G，因为AB→·AF→＝|AB→|·|AF→|cos〈AB→，AF→〉＝|AB→|·|AG→|＝3，所以|AG→|＝1.AE→·BF→＝(AB→＋BE→)·(BC→＋CF→)＝AB→·BC→＋AB→·CF→＋BE→·BC→＋BE→·CF→＝0－3×(3－1)＋2×4＋0＝5＋3，故选B.9．已知点O为△ABC所在平面内一点，且OA→2＋BC→2＝OB→2＋CA→2＝OC→2＋AB→2，则O一定为△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心解析OA→2＋BC→2＝OB→2＋CA→2⇒OA→2－OB→2＝CA→2－BC→2⇒(OA→－OB→)·(OA→＋OB→)＝(CA→－BC→)·(CA→＋BC→)⇒BA→·(OA→＋OB→)＝BA→·(CA→－BC→)⇒BA→·(OA→＋OB→－CA→＋BC→)＝0⇒2BA→·OC→＝0⇒BA→⊥OC→，同理CB→⊥OA→.故O为△ABC的垂心．10．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a||b|sinθ，若a＝(－3，－1)，b＝(1，3)，则|a×b|＝()A．3B．2C．23D．4解析cosθ＝a·b|a||b|＝－3－32×2＝－32，∴sinθ＝12，∴|a×b|＝2×2×12＝2.11．设0≤θ2π，已知两个向量OP1→＝(cosθ，sinθ)，OP2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2→长度的最大值是()A．2B．3C．32D．23解析∵P1P2→＝OP2→－OP1→＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴|P1P2→|＝2＋sinθ－cosθ2＋2－cosθ－sinθ2＝10－8cosθ≤32.12．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为(a,0)，(0，a)，其中常数a0，点P在线段AB上，且AP→＝tAB→(0≤t≤1)，则OA→·OP→的最大值为()A．aB．2aC．3aD．a2解析AB→＝OB→－OA→＝(0，a)－(a,0)＝(－a，a)，∴AP→＝tAB→＝(－at，at)．又OP→＝OA→＋AP→＝(a,0)＋(－at，at)＝(a－at，at)，∴OA→·OP→＝a(a－at)＋0×at＝a2(1－t)(0≤t≤1)．∴当t＝0时，OA→·OP→取得最大值，为a2.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为____________．(－4，－2)解析设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝－4，y＝－2.即a＝(－4，－2)．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若AB→·AC→＝BA→·BC→＝1，那么c＝________.2解析由题知，AB→·AC→＋BA→·BC→＝2，即AB→·AC→－AB→·BC→＝AB→·(AC→＋CB→)＝AB→2＝2⇒c＝|AB→|＝2.15．如图，在正方形ABCD中，已知|AB→|＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则AB→·AN→的最大值是________．4解析∵AB→·AN→＝|AB→||AN→|·cos∠BAN，|AN→|·cos∠BAN表示AN→在AB→方向上的投影，又|AB→|＝2，AB→·AN→的最大值是4.16．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(2cosα，2sinα)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________．16解析由ma＋nb＝c，可得m＋n＝2cosα，m－n＝2sinα，故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故点M(m，n)在单位圆上，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为OP＋1＝3＋1＝4，其中O为坐标原点，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，(1)用OA→，OB→表示OC→；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．解(1)∵2AC→＋CB→＝0，∴2(OC→－OA→)＋(OB→－OC→)＝0，2OC→－2OA→＋OB→－OC→＝0，∴OC→＝2OA→－OB→.(2)如图，DA→＝DO→＋OA→＝－12OB→＋OA→＝12(2OA→－OB→)．故DA→＝12OC→.故四边形OCAD为梯形．18．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝13BC.(1)以a，b为基底表示向量AM→与HF→；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求AM→·HF→.解(1)由已知，得AM→＝AD→＋DM→＝12a＋b.连接AF，∵AF→＝AB→＋BF→＝a＋13b，∴HF→＝HA→＋AF→＝－12b＋a＋13b＝a－16b.(2)由已知，得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6，从而AM→·HF→＝12a＋b·a－16b＝12|a|2＋1112a·b－16|b|2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.19．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，BC→∥DA→.(1)求x与y的关系式；(2)若AC→⊥BD→，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．解(1)如图所示．因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(x＋4，y－2)，所以DA→＝－AD→＝(－x－4,2－y)．又因为BC→∥DA→，BC→＝(x，y)，所以x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.(2)由于AC→＝AB→＋BC→＝(x＋6，y＋1)，BD→＝BC→＋CD→＝(x－2，y－3)．因为AC→⊥BD→，所以AC→·BD→＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，所以y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1.当y＝3时，x＝－6，于是BC→＝(－6,3)，AC→＝(0,4)，BD→＝(－8,0)．所以|AC→|＝4，|BD→|＝8，所以S四边形ABCD＝12|AC→||BD→|＝16.当y＝－1时，x＝2，于是有BC→＝(2，－1)，AC→＝(8,0)，BD→＝(0，－4)．所以|AC→|＝8，|BD→|＝4，S四边形ABCD＝16.综上可知x＝－6，y＝3或x＝2，y＝－1，S四边形ABCD＝16.20．(本小题满分12分)平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)．(1)若AC→·BC→＝－1，求sinαcosα的值；(2)若|OA→＋OC→|＝13且α∈(0，π)，求OB→与OC→的夹角．解(1)∵A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，∴AC→＝(cosα－3，sinα).BC→＝(cosα，sinα－3)，又∵AC→·BC→＝－1，∴cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝－1，∴cosα＋sinα＝23，两边平方，得1＋2sinα·cosα＝49.∴sinαcosα＝－518.(2)∵OA→＋OC→＝(3＋cosα，sinα)，|OA→＋OC→|＝13，∴(3＋cosα)2＋sin2α＝13，∴cosα＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sinα＝32，∴C12，32，OB→·OC→＝332，∴cos〈OB→，OC→〉＝OB→·OC→|OB→||OC→|＝3323×1＝32，∴OB→与OC→的夹角为π6.21．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且OP→＝xOA→＋yOB→.(1)若AP→＝PB→，求x，y的值；(2)若AP→＝3PB→，|OA→|＝4，|OB→|＝2，且OA→与OB→的夹角为60°，求OP→·AB→的值．解(1)若AP→＝PB→，则OP→＝12OA→＋12OB→，故x＝y＝12.(2)若AP→＝3PB→，则OP→＝OA→＋34AB→＝OA→＋34(OB→－OA→)＝14OA→＋34OB→，OP→·AB→＝14OA→＋34OB→·(OB→－OA→)＝－14OA→2－12OA→·OB→＋34OB→2＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22＝－3.22．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a，b满足关系|ka＋b|＝3|a－kb|(k0)．(1)求a与b的数量积用k