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第二章平面向量§7向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题．2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题.1．点到直线的距离公式点M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__________________.|Ax0＋By0＋C|A2＋B2练一练(1)已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________.解析：由题意得，|3m＋5|m2＋1＝|7－m|m2＋1.∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m.解得m＝－6或m＝12.答案：－6或122．直线l：Ax＋By＋C＝0的法向量(1)与直线的方向向量______的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l的方向向量ν＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝________．(3)设直线l的法向量n＝(A，B)，则与n同向的单位向量n0＝n|n|＝__________________.(A，B)AA2＋B2，BA2＋B2垂直练一练(2)过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0答案：A3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在______中的应用；二是在______中的应用．几何物理1．用向量方法解决几何问题的关键是什么？答：用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．2．用向量解决物理问题需注意什么？答：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来．(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解．(3)最后要将数学问题还原为物理问题．典例精析规律总结课堂互动探究1向量在平面几何中的应用类型如右图，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.【证明】设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝e，DB→＝c，DC→＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0.∵BC→＝DC→－DB→＝d－c，∴AD→·BC→＝e·(d－c)＝0，∴AD→⊥BC→.即AD⊥BC.【方法总结】用向量解平面几何问题的方法(1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算．(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.求对角线AC的长．解：设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b.而|BD→|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝4，所以2a·b＝1.又|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5＋2a·b＝6，所以|AC→|＝6，即AC＝6.2向量在解析几何中的应用类型已知A(－1,2)，直线l：4x－3y＋9＝0.求：(1)过点A且与直线l平行的直线方程；(2)过点A且与直线l垂直的直线方程．【解】解法一：直线l的斜率k＝43，向量u＝1，43与直线l平行．(1)设P是过A且与l平行的直线上的动点，P的坐标是(x，y)，则AP→＝(x＋1，y－2)，所求直线与l平行，当且仅当u∥AP→，转化为坐标表示，即为1×(y－2)－43×(x＋1)＝0，整理得4x－3y＋10＝0，这就是所求的过A且与l平行的直线方程．(2)设Q(x，y)为一动点，则AQ→＝(x＋1，y－2)，点Q在过A且垂直于l的直线上，当且仅当u·AQ→＝0，转化为坐标表示，即为1×(x＋1)＋43×(y－2)＝0，整理得3x＋4y－5＝0，这就是所求的过A且与l垂直的直线方程．解法二：因为向量(4，－3)与直线l垂直，所以n＝(4，－3)是l的法向量．(1)设P(x，y)为一动点，则AP→＝(x＋1，y－2)．点P在与l平行的直线上，当且仅当n·AP→＝0.转化为坐标表示，即为4(x＋1)＋(－3)(y－2)＝0，整理得4x－3y＋10＝0，这就是所求的过A且与l平行的直线方程．(2)设Q(x，y)为一动点，则AQ→＝(x＋1，y－2)，点Q在与l垂直的直线上，当且仅当AQ→与n共线，即n∥AQ→，转化为坐标表示，即为4(y－2)－(－3)(x＋1)＝0，整理得3x＋4y－5＝0，这就是过A且与l垂直的直线方程．【方法总结】1.已知直线的法向量n＝(a，b)，则其方向向量为m＝(b，－a)，利用方向向量求得直线的斜率k＝－ab是求直线方程问题的关键．2．向量与解析几何相结合多数问题为用向量语言表述几何性质或转化为向量法处理解析几何中平行、垂直距离、夹角等问题．已知直线l过点A(－1,2)．(1)若l与a＝(3,2)平行，求l的方程；(2)若l的法向量为a＝(3,2)，求l的方程．解：(1)在直线上任取一点P(x，y)，则AP→＝(x＋1，y－2)，由AP→∥a，得(x＋1)×2－(y－2)×3＝0，即2x－3y＋8＝0.(2)由法向量a＝(3,2)，设直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，又A(－1,2)在直线上，所以3×(－1)＋2×2＋c＝0，得c＝－1，即3x＋2y－1＝0.3向量在物理学中的应用类型一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．【解】依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地．风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段AD→是平行四边形ABDC的对角线．∵|AC→|＝4米/秒，∠ACD＝30°，|AD→|＝2米/秒，∴∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，|DC→|＝|AC→|cos30°＝23米/秒，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为23米/秒．【方法总结】用向量的方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来；再根据它的物理意义建立数学模型，将物理问题转化为数学问题求解；最后将数学问题还原为物理问题．如图所示，用两根分别长52米和10米的绳子，将100N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的质量忽略不计)．解：如图所示，由已知条件可知，AG与竖直方向成45°角，BG与竖直方向成60°角．设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G′，可知∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|Fa|cos45°＋|Fb|cos60°＝|G′|＝100，①|Fa|sin45°＝|Fb|sin60°.②由①②解得|Fa|＝1502－506.∴A处所受力的大小为(1502－506)N.已知点A(0,1)，B(1,0)，C(－1,2)，D(2，－1)，问AB与CD平行吗？【错解】∵AB→＝(1，－1)，CD→＝(3，－3)，又1×(－3)－(－1)×3＝0，∴AB→∥CD→，即AB∥CD.【错因分析】此题错解混淆了向量的平行与线段(直线)的平行．平行向量是方向相同或相反的向量，所以当A，B，C，D四点共线时，AB→与CD→仍为平行向量，但此时直线AB与CD不平行．【正解】∵AB→＝(1，－1)，CD→＝(3，－3)，1×(－3)－(－1)×3＝0，∴AB→∥CD→.又AC→＝(－1,1)，AB→＝(1，－1)，而－1×(－1)－1×1＝0，∴AB→∥AC→，∴A，B，C，D四点共线，∴AB与CD不平行．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一向量在物理中的应用1．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v2－v1C．v1＋v2D．|v1|－|v2|答案：C2．若向量OF1→＝(1,1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F1→，F2→，则|F1→＋F2→|为()A．(5,0)B．(－5,0)C．5D．－5答案：C知识点二向量在解析几何中的应用3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A．－1B．1C．2D．－1或2解析：直线l的方向向量v＝(－2，m)，由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，解得m＝－1或m＝2.答案：D4．在平面直角坐标系xOy中，已知向量OA→与OB→关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足OA→2＋a·AB→＝0的点A(x，y)的轨迹方程为________．解析：∵OA→与OB→关于y轴对称，∴OB→＝(－x，y)，∴OA→2＝x2＋y2，AB→＝OB→－OA→＝(－2x,0)，∴OA→2＋a·AB→＝0可表示为x2＋y2＋(1,0)·(－2x,0)＝0，即(x－1)2＋y2＝1.答案：(x－1)2＋y2＝1知识点三向量在平面几何中的应用5．在四边形ABCD中，已知AB→＝(4，－2)，AC→＝(7,4)，AD→＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．解析：BC→＝AC→－AB→＝(3,6)＝AD→，∵AB→·BC→＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB→⊥BC→，∴四边形ABCD为矩形，|AB→|＝20，|BC→|＝45，∴S＝|AB→|·|BC→|＝30.答案：30