2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示 4

第二章平面向量§4平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，并能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来解决一些平面向量的计算．2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关计算.1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向______的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的任意一个向量a，由__________________可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的______，记作a＝(x，y)．相同平面向量基本定理坐标练一练(1)已知基向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，m＝4i－j，则m的坐标是()A．(4,1)B．(－4,1)C．(4，－1)D．(－4，－1)解析：由i＝(1,0)，j＝(0,1)，知i，j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，由m＝4i－j，得m的坐标是(4，－1)，故选C．答案：C2．平面向量线性运算的坐标表示(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a＋b＝__________________；②a－b＝__________________；③若λ∈R，则λa＝____________．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝__________________．即一个向量的坐标等于其_____的相应坐标减去_____的相应坐标.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)终点始点练一练(2)已知向量AB→＝(3,7)，BC→＝(－2,3)，则－12AC→＝()A．－12，5B．12，5C．－12，－5D．12，－5解析：AC→＝AB→＋BC→＝(3,7)＋(－2,3)＝(1,10)，∴－12AC→＝－12(1,10)＝－12，－5.答案：C3．向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有____________.(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有__________.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标________；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们______．x1y2－x2y1＝0x1x2＝y1y2成比例平行练一练(3)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)解析：A项中，－2×6－3×4＝－24≠0，所以a与b不共线，排除A；B项中，2×2－3×3＝－5≠0，所以a与b不共线，排除B；C项中，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a与b不共线，排除C；D项中，－3×(－4)－2×6＝0，所以a与b共线，故选D．答案：D1．平面向量的坐标与哪些因素有关？答：平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．2．向量的坐标与点的坐标有何区别？答：符号(x，y)在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P(x，y)或者向量a＝(x，y)，注意前者没有等号，后者有等号．3．向量共线的条件如何应用？答：遇到与共线有关的问题时，我们要根据需要，合理地选择向量共线的条件来进行问题的转化，如果遇上了坐标表示，一般选用x1y2－x2y1＝0，而不选用x1＝λx2，y1＝λy2与x1x2＝y1y2(因为后者有b≠0，需要讨论)．典例精析规律总结课堂互动探究1平面向量的坐标运算类型已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，求M、N的坐标及MN→＋15AB→.【解】解法一：由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，得CA→＝(1,8)，CM→＝3CA→＝3(1,8)＝(3,24)，CB→＝(6,3)，CN→＝2CB→＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则CM→＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，∴x1＋3＝3，y1＋4＝24，即x1＝0，y1＝20.∴M(0,20)．又CN→＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，∴x2＋3＝12，y2＋4＝6，即x2＝9，y2＝2.∴N(9,2)．∴MN→＝(9，－18)，又AB→＝(5，－5)，∴MN→＋15AB→＝(9，－18)＋15(5，－5)＝(9，－18)＋(1，－1)＝(10，－19)．故M(0,20)，N(9,2)，MN→＋15AB→＝(10，－19)．解法二：取点O为原点，由CM→＝3CA→，得OM→－OC→＝3OA→－3OC→，即OM→＝3OA→－2OC→＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(－6,12)＋(6,8)＝(0,20)，∴M(0,20)．由CN→＝2CB→，得ON→－OC→＝2OB→－2OC→，即ON→＝2OB→－OC→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(6，－2)＋(3,4)＝(9,2)，∴N(9,2)．又AB→＝(5，－5)，∴MN→＝(9，－18)，MN→＋15AB→＝(10，－19)．【方法总结】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，求点C、D和CD→的坐标．解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得AC→＝(x1＋1，y1－2)，AB→＝(3,6)，DA→＝(－1－x2,2－y2)，BA→＝(－3，－6)．∵AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，∴(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)，则有x1＋1＝1，y1－2＝2和－1－x2＝1，2－y2＝2，解得x1＝0，y1＝4，x2＝－2，y2＝0.∴C、D两点的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD→＝(－2，－4).2向量平行的坐标表示类型已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？【解】解法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，∴k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－13.当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，∵λ＝－13＜0，∴ka＋b与a－3b反向．解法二：由解法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－13.此时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)，∴当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．【方法总结】向量平行的坐标表达式与向量共线定理是对一个问题从数和形两个角度的描述，是有机结合的一个整体，学习时注意对照体会，选择应用．(2017·山东卷)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝________.解析：∵a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，又a∥b，∴2λ＝－1×6，∴λ＝－3.答案：－33向量坐标的应用类型已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求λ为何值时，(1)点P在一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内．【解】设点P的坐标为(x，y)，则AP→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，AB→＝(5,4)－(2,3)＝(3,1)，AC→＝(7,10)－(2,3)＝(5,7)．∴AB→＋λAC→＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵AP→＝AB→＋λAC→，∴x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ.∴x＝5＋5λ，y＝4＋7λ.(1)若P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12.(2)若P在第三象限内，则5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，∴λ＜－1.【方法总结】利用向量的坐标运算时注意向量相等，向量平行等应用．解题时若与几何图形有关注意几何性质的应用与向量转化．已知平面内的三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．解：(1)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)，∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解得m＝59，n＝89.(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴－5(2＋k)＝2(3＋4k)，∴k＝－1613.已知a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，求m的值．【错解】由题意，得3m＝2－m－m，解得m＝5.【错因分析】向量平行的比例式应用的前提条件是两个向量与坐标轴不平行，错解中忽略了这一点．【正解】∵a∥b，∴3(－m)－(2－m)m＝0，解得m＝0或m＝5.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一向量的坐标1．以下结论错误的是()A．若将MN→＝(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则N点坐标为(x0，y0)B．MN→＝(x0，y0)相反向量的坐标为(－x0，－y0)C．若MN→＝(x0，y0)与y轴垂直，则必有y0＝0D．若MN→＝(x0，y0)是一个单位向量，则x0小于1解析：∵MN→＝ON→－OM→，∴ON→＝MN→＋OM→＝(x0，y0)＋(0,0)＝(x0，y0)，故A正确；∵MN→＝(x0，y0)．∴－MN→＝(－x0，－y0)，∴B正确；若MN→⊥y轴，则y0＝0，∴C正确；D不正确．答案：D2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则DA→＝()A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)解析：DA→＝－AD→＝－(AC→＋CD→)＝－(AC→－AB→)＝AB→－AC→＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．答案：C知识点二向量的坐标运算3．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于()A．(－5,14)B．(5,14)C．(7,4)D．(5,9)解析：3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)．答案：A4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，－2)，则c＝()A．－12a－32bB．－12a＋32bC．32a－12bD．－32a＋12b解析：设c＝xa＋yb＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)，∴x＋y＝－1，x－y＝－2，解得x＝－32，y＝12.∴c＝－32a＋12b.答案：D知识点三向量平行的坐标表示5．已知AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，且BC→∥DA→，求x＋2y的值．解：∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(4＋x，y－2)，∴DA→＝(－4－x,2－y)．∵BC→∥DA→，∴x(y－2)－y(4＋x)＝0，即－2x－4y＝0，∴x＋2y＝0.