2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 3 从速度的倍数到数乘向量 3.2 平面向量基本定

第二章平面向量§3从速度的倍数到数乘向量3.2平面向量基本定理自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．理解平面向量基本定理及其意义．2．体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题.1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的______向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝____________.2．基底平面内________的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．λ1e1＋λ2e2不共线任一不共线练一练如图所示，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→.其中可作为该平面内的其他向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④解析：AD→、AB→不共线，CA→、DC→不共线．故选B．答案：B正确认识平面向量基本定理应注意哪些方面？答：(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线向量．(2)对给定的向量a，实数λ1，λ2存在且唯一．实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的．(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．(4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．典例精析规律总结课堂互动探究1平面向量基本定理概念类型如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．【解】(1)正确．若λ≠0，则e1＝－μλe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．(3)正确．平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只要λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2就唯一确定．【方法总结】对于平面内任何向量都可以用一组不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，能作为平面内表示所有向量的一组基底的序号是_______(写出所有满足条件的序号)．解析：对于③，4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．答案：①②④2用基底表示向量类型设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使BM→＝13BC→，CN→＝13CA→，AP→＝13AB→，若AB→＝a，AC→＝b，试用a，b将MN→、NP→、PM→表示出来．【解】如图，MN→＝CN→－CM→＝－13AC→－23CB→＝－13AC→－23(AB→－AC→)＝13AC→－23AB→＝13b－23a.同理可得NP→＝13a－23b.PM→＝－MP→＝－(MN→＋NP→)＝13a＋13b.【方法总结】平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解．已知在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，(1)若AB→＝a，AD→＝b，试用a，b表示AE→；(2)若AC→＝a，BD→＝b，试用a、b表示AE→.解：(1)AE→＝12a＋b.(2)AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋12DC→＝12a＋12b＋1212a－12b＝34a＋14b.3平面向量基本定理的应用类型设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．【解】(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线得λ＝1，3λ＝－2，即λ＝1，λ＝－23，∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1，即m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，即λ＝3，μ＝1.故所求λ、μ的值分别为3和1.【方法总结】平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的．平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．即若a是平面内的非零向量，且能表示为a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么，一定有λ1＝μ1，λ2＝μ2.用向量法证明三角形的三条中线交于同一点．已知△ABC，D、E、F分别是BC、AC、AB边的中点．求证：AD、BE、CF交于同一点．证明：如图，设△ABC的两条中线CF与AD交于G点，设AC→＝a，BC→＝b，其中AG→＝23AD→.则AB→＝a－b，AD→＝a－12b.再设AD与AC边上的中线BE交于点G1，则BE→＝－12a＋b.设AG1→＝λAD→，BG1→＝μBE→，则AG1→＝λa－λ2b，BG1→＝－μ2a＋μb，又AG1→＝AB→＋BG1→＝1－μ2a＋(μ－1)b，所以λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，即AG1→＝23AD→，故G1，G点重合，即AD、BE、CF交于同一点．已知e1，e2为平面内向量的一组基底，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0【错解】当e1∥e2，或λ＝0时，a∥b，故选D．【错因分析】对基底的概念理解不到位，忽视了作为基底的两个向量应不共线这个条件．【正解】∵a与b共线，∴a＝μb，即e1＋λe2＝μ(2e1)．又∵e1≠0且e2≠0，∴2μ＝1，λ＝0.【答案】A即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一平面向量的基底1．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2解析：∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线．∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．故应选B．答案：B2．若向量a与向量b不共线，实数x，y满足等式2xa＋(3－y)b＝xb＋(3y＋1)a，则实数x＋y＝()A．2B．－2C．1D．3解析：∵a与b不共线，2xa＋(3－y)b＝xb＋(3y＋1)a，∴2x＝3y＋1，3－y＝x，解得x＝2，y＝1.∴x＋y＝3.答案：D知识点二用基底表示向量3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A．34AB→－14AC→B．14AB→－34AC→C．34AB→＋14AC→D．14AB→＋34AC→解析：根据向量的运算法则，可得BE→＝12BA→＋12BD→＝12BA→＋12×12(BA→＋AC→)＝12BA→＋14BA→＋14AC→＝34BA→＋14AC→，所以EB→＝34AB→－14AC→，故选A．答案：A4.在如图所示的平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN→＝________(用a，b表示)．解析：MN→＝MC→＋CN→＝12AD→－14AC→＝12b－14(a＋b)＝－14a＋14b.答案：－14a＋14b5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC、AB的中点，设AD→＝a，AB→＝b，试以a、b为基底表示DC→，BC→，MN→.解：∵AB∥CD，∴DC→＝λAB→.又∵AB＝2CD，由图中方向可知DC→＝12AB→＝12b，BC→＝BA→＋AD→＋DC→＝－b＋a＋12b＝－12b＋a，MN→＝MD→＋DN→＝－12DC→＋(DA→＋AN→)＝－14b＋－a＋12b＝14b－a.