2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为()A．π6B．π4C．π3D．π2解析∵|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝11×0＋22＝12.∴向量a与b夹角的大小为π3.故选C.2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|等于()A．42B．25C．8D．82解析易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝82＋－82＝82.3．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b＝()A．32，12B．12，32C．14，334D．(1,0)解析设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝3x＋y＝3.由x2＋y2＝1，3x＋y＝3，y≠0，解得x＝12，y＝32，即b＝12，32.故选B.4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A．79，73B．－73，－79C．73，79D．－79，－73解析设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得22＋y＋3x＋1＝0，3x－y＝0，解得x＝－79，y＝－73，即c＝－79，－73.5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析根据已知，有AB→＝(8，－4)，AC→＝(2,4)，BC→＝(－6，8)，因为AB→·AC→＝8×2＋(－4)×4＝0，所以AB→⊥AC→，即∠BAC＝90°.故△ABC为直角三角形．二、填空题6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为________．2π3解析设c＝(x，y)，∵a＋b＝(－1，－2)，且|a|＝5，|c|＝5，(a＋b)·c＝52，∴(－1，－2)·(x，y)＝52.∴－x－2y＝52，∴x＋2y＝－52.设a与c的夹角为θ，∴cosθ＝a·c|a||c|＝x＋2y5·5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.7．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，则a与b夹角θ的范围是________．0，π3解析∵(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－a·b＋4a·b－2b2＝2×9＋3|a||b|cos〈a，b〉－2×16＝－14＋3×3×4cos〈a，b〉≥4，∴cos〈a，b〉≥12，又∵θ＝〈a，b〉∈[0，π]∴θ＝〈a，b〉∈0，π3.8．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________________．λ－5且λ≠－53解析因a与b的夹角为锐角，则cos〈a，b〉0，且cos〈a，b〉≠1，即a·b＝2＋λ＋30，且b≠ka，则λ－5且λ≠－53.三、解答题9．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)，判断由此四点构成的四边形的形状．解因为AB→＝(4,0)－(1,2)＝(3，－2)，DC→＝(8,6)－(5,8)＝(3，－2)，所以AB→＝DC→，所以四边形ABCD是平行四边形．因为AD→＝(5,8)－(1,2)＝(4,6)，所以AB→·AD→＝3×4＋(－2)×6＝0，所以AB→⊥AD→，所以四边形ABCD是矩形．因为|AB→|＝13，|AD→|＝213，|AB→|≠|AD→|，所以四边形ABCD不是正方形．综上，四边形ABCD是矩形．10．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α2π)，b＝－12，32，且a与b不共线．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)若两个向量3a＋b与a－3b的模相等，求角α.解(1)证明：由题意，知a＋b＝cosα－12，sinα＋32，a－b＝cosα＋12，sinα－32，∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－14＋sin2α－34＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(3a＋b)2＝(a－3b)2，化简得a·b＝0，∴－12cosα＋32sinα＝0，∴tanα＝33.又0≤α2π，∴α＝π6或α＝7π6.B级：能力提升练1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．2解析以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设F(x,2)，则AE→＝(2，1)，AF→＝(x,2)，AB→＝(2，0)．所以AB→·AF→＝2x＝2，所以x＝1，所以F(1,2)．所以BF→＝(1,2)－(2，0)＝(1－2，2)．所以AE→·BF→＝2.2．已知OA→＝(4,0)，OB→＝(2,23)，OC→＝(1－λ)OA→＋λOB→(λ2≠λ)．(1)求OA→·OB→及OA→在OB→上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，并在AB→＝BC→时，求λ的值；(3)求|OC→|的最小值．解(1)OA→·OB→＝8，设OA→与OB→的夹角为θ，则cosθ＝OA→·OB→|OA→||OB→|＝84×4＝12，所以OA→在OB→上的投影为|OA→|cosθ＝4×12＝2.(2)AB→＝OB→－OA→＝(－2,23)，BC→＝OC→－OB→＝(1－λ)OA→－(1－λ)OB→＝(λ－1)AB→，因为AB→与BC→有公共点B，所以A，B，C三点共线．当AB→＝BC→时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC→|2＝(1－λ)2OA→2＋2λ(1－λ)OA→·OB→＋λ2OB→2＝16λ2－16λ＋16＝16λ－122＋12.所以当λ＝12时，|OC→|取到最小值23.