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第二章平面向量2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用学习目标核心素养1．会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题．(重点)2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．(难点)1．通过向量在几何中应用的学习，培养学生数学运算及数学建模核心素养．2．通过向量在物理中的应用，培养学生数学建模的核心素养.自主预习探新知1．向量在几何中的应用(1)直线与向量平行的条件①直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝＝＝tanα.y－y1x－x1a2a11．向量在几何中的应用②平行条件：如果知道直线l的斜率k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．③法向量：如果表示向量的基线与一条直线，则称这个向量该直线．这个向量称为这条直线的法向量．a2a1垂直垂直1．向量在几何中的应用(2)特殊向量设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l______，向量(－B，A)与l．垂直平行思考1：向量可以解决哪些常见的几何问题？[提示](1)解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．向量在物理中的应用(1)力向量力向量与自由向量不同，它包括、、三个要素．在不考虑的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用_____________表示．大小方向作用点作用点有向线段思考2：向量可以解决哪些物理问题？[提示]解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A．－1B．1C．2D．－1或2D[由于11－m＝－m2，得m＝－1或m＝2.]2．下列直线与a＝(2,1)垂直的是()A．2x＋y＋1＝0B．x＋2y＋1＝0C．x－2y＋4＝0D．2x－y＋4＝0A[直线2x＋y＋1＝0与向量(2,1)垂直．]3．已知力F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则F对物体所做的功为________焦耳．1[由已知位移AB→＝(－4,3)，∴力F做的功为W＝F·AB→＝2×(－4)＋3×3＝1.]合作探究提素养向量在平面几何中的应用【例1】如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点．求证：AR＝RT＝TC.[思路探究]由于R，T是对角线AC上的两点，要证AR＝RT＝TC，只要证AR,RT，TC都等于13AC即可．[证明]设AB→＝a，AD→＝b，AR→＝r，AT→＝t，则AC→＝a＋b.由于AR→与AC→共线，所以可设r＝n(a＋b)．因为EB→＝AB→－AE→＝a－12b，ER→与EB→共线，所以可设ER→＝mEB→＝ma－12b.因为AR→＝AE→＋ER→，所以r＝12b＋ma－12b，所以n(a＋b)＝12b＋ma－12b，即(n－m)a＋n＋m－12b＝0.由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有n－m＝0，n＋m－12＝0，解得m＝13，n＝13.所以AR→＝13AC→.同理TC→＝13AC→.所以AR＝RT＝TC.1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．1.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2→－AC2→＝DB2→－DC2→，求证：AD⊥BC.[证明]设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝e，DB→＝c，DC→＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.∵BC→＝BD→＋DC→＝d－c，∴AD→·BC→＝e·(d－c)＝0，∴AD→⊥BC→，即AD⊥BC.向量在解析几何中的应用【例2】过点A(－2,1)，求：(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．[思路探究]在直线上任取一点P(x，y)，则AP→＝(x＋2，y－1)，由AP→∥a可以得(1)，由AP→⊥b可以得(2)．[解]设所求直线上任意一点P(x，y)，∵A(－2,1)，∴AP→＝(x＋2，y－1)．(1)由题意知AP→∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0，∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.(2)由题意，知AP→⊥b，∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即x－2y＋4＝0，∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.2．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若RA→＝2AP→，求点P的轨迹方程．[解]设P(x，y)，R(x0，y0)，则RA→＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，AP→＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．由RA→＝2AP→，得1－x0＝2x－1，－y0＝2y，又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，∴1－x0＝2x－2，①6－2x0＝2y，②由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程.向量在物理中的应用[探究问题]1.向量的数量积与功有什么联系？[提示]物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？[提示]用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．【例3】两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求(1)F1，F2分别对该质点做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．[思路探究]向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题．[解]AB→＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·AB→＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28J.F2做的功W2＝F2·s＝F2·AB→＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23J.(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·AB→＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5J.1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解．2．如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．3．在静水中划船速度的大小是每分钟40m，水流速度的大小是每分钟20m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？[解]如图所示，设向量OA→的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB→的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA→，OB→为邻边作平行四边形OACB，连接OC.依题意OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40，∴∠BOC＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．当堂达标固双基1．在△ABC中，若(CA→＋CB→)·(CA→－CB→)＝0，则△ABC为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．形状无法确定C[∵(CA→＋CB→)·(CA→－CB→)＝0，∴CA→2－CB→2＝0，CA→2＝CB→2，∴CA＝CB，△ABC为等腰三角形．]2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0A[设P(x，y)是所求直线上任一点，则AP→⊥a，又∵AP→＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.]3．若AB→＝3e，DC→＝5e，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD的形状为________．等腰梯形[由AB→＝3e，DC→＝5e，得AB→∥DC→，AB→≠DC→，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.又|AD→|＝|BC→|，得AD＝BC，所以四边形ABCD为等腰梯形．]4．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．[解]如图所示，设A地在东西基线和南北基线的交点处，则A(0,0)，B(－1000cos30°，1000sin30°)＝(－5003，500)，C(－2000cos30°，－2000sin30°)＝(－10003，－1000)，∴BC→＝(－5003，－1500)，∴|BC→|＝－50032＋－15002＝10003(km)．∴飞机从B地到C地的位移大小是10003km，方向是南偏西30°.