2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后课

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析cosθ＝a·b|a||b|＝－42×4＝－12，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选D.2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．22C．4D．8解析∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，∴|2a－b|＝22.3．若平面四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是()A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形解析由AB→＋CD→＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由(AB→－AD→)·AC→＝0，得DB→·AC→＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形．4．若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A．π4B．π2C．3π4D．π解析由题意，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝223|b|，所以a·b＝3×223|b|2－2b2＝23b2，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝23b2223b2＝22，所以〈a，b〉＝π4.5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C．2D．22解析因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|cosθ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|·cosθ＝2cosθ≤2，所以|c|的最大值是2，故选C.二、填空题6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．21解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|cos45°＝22|b|，又12a＋b·(2a－3b)＝|a|2＋12a·b－3|b|2＝16＋2|b|－3|b|2＝12，解得|b|＝2或|b|＝－223(舍去)．b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝2cos45°＝1.7．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.2解析由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理，得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝12，所以t＝2.8．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→·BE→＝1，则AB的长为________．12解析因为BE→＝BA→＋AD→＋DE→＝－AB→＋AD→＋12AB→＝AD→－12AB→，所以AC→·BE→＝(AB→＋AD→)·AD→－12AB→＝AD→2＋12AD→·AB→－12AB→2＝1＋12×1×|AB→|cos60°－12|AB→|2＝1，所以14|AB→|－12|AB→|2＝0，解得|AB→|＝12.三、解答题9．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？解(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.10．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时，(1)求t的值(用a，b表示)；(2)求证：b与a＋tb垂直．解(1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b2t＋a·bb22＋a2－a·b2b2.当t＝－a·bb2时，|a＋tb|取得最小值．(2)证明：因为(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－a·bb2×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．B级：能力提升练1．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．4解析由a＋b＋c＝0，得(a＋b＋c)2＝0，得a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0.又∵(a－b)⊥c，a⊥b，∴(a－b)·c＝0，a·b＝0.∴a·c＝b·c.∴a2＋b2＋c2＝－4b·c，b2＋c2＝－1－4b·c.①由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，故(b＋c)2＝1，即b2＋c2＋2b·c＝1.②由①②得b·c＝－1，故a2＋b2＋c2＝4，即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.2．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP→＝2PD→.(1)若四边形ABCD是矩形，求AP→·BP→的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP→·BP→＝6，求AB→与AD→夹角的余弦值．解(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD→·DC→＝0，由CP→＝2PD→，得DP→＝13DC→，CP→＝23CD→＝－23DC→.所以AP→·BP→＝(AD→＋DP→)·(BC→＋CP→)＝AD→＋13DC→·AD→－23DC→＝AD→2－13AD→·DC→－29DC→2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋13DC→＝AD→＋13AB→，BP→＝BC→＋CP→＝BC→＋23CD→＝AD→－23AB→，所以AP→·BP→＝AD→＋13AB→·AD→－23AB→＝AD→2－13AB→·AD→－29AB→2＝36－13AB→·AD→－18＝18－13AB→·AD→.又AP→·BP→＝6，所以18－13AB→·AD→＝6，所以AB→·AD→＝36.又AB→·AD→＝|AB→||AD→|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝23.所以AB→与AD→夹角的余弦值为23.