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课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．a＝(0,0)，b＝(1，－2)B．a＝(－1,2)，b＝(5,7)C．a＝(3,5)，b＝(6,10)D．a＝(2，－3)，b＝(4，－6)解析A中，a＝(0,0)与b＝(1，－2)共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；C中a＝(3,5)与b＝(6,10)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；D中a＝(2，－3)与b＝(4，－6)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．故选B.2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与AB→平行且方向相反的向量a可能是()A．(1，－2)B．(9,3)C．(－1,2)D．(－4，－8)解析AB→＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，∴(－4，－8)满足条件．3．已知向量a＝(1,2)，(a＋b)∥b，则b可以为()A．(1,2)B．(1，－2)C．(2,1)D．(2，－1)解析设b＝(x，y)，则a＋b＝(x＋1，y＋2)，因为(a＋b)∥b，所以(x＋1)y－x(y＋2)＝0，化简得y－2x＝0，只有A满足．4．若a＝32，sinα，b＝sinα，13，且a∥b，则锐角α为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析由a∥b，得32×13－sinαsinα＝0，∴sin2α＝12，∴sinα＝±22，又α为锐角，∴α＝45°.故选B.5．若平行四边形的3个顶点分别是(4,2)，(5,7)，(－3,4)，则第4个顶点的坐标不可能是()A．(12,5)B．(－2,9)C．(3,7)D．(－4，－1)解析解法一(估算法)：画草图可知符合条件且在第一象限的点只有一个，且位于点(5,7)的右侧，则该点的横坐标要大于5，所以只有C不可能．解法二(向量法)：设第4个顶点坐标为D(m，n)，记A(4，2)，B(5,7)，C(－3,4)．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB→＝DC→或AB→＝CD→或AC→＝DB→，∴(1,5)＝(－3－m,4－n)或(1,5)＝(3＋m，n－4)或(－7，2)＝(5－m,7－n)，∴点D为(－4，－1)或(－2,9)或(12,5)，故第4个点坐标不可能为(3,7)．故选C.二、填空题6．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．m≠12解析若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB→与AC→不共线．∵AB→＝OB→－OA→＝(3,1)，AC→＝OC→－OA→＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，即m≠12，∴实数m≠12.7．向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝______.2解析∵a∥b，∴n2－4＝0，∴n＝2或n＝－2，又∵a与b方向相同，∴n＝2.8．已知四边形的顶点A(3，－1)，B(1,2)，C(－1，1)，D(3，－5)，则四边形ABCD的形状为________．梯形解析∵AB→＝(－2,3)，DC→＝(－4，6)，而(－2)×6－3×(－4)＝0，∴AB→∥DC→.又∵AD→＝(0，－4)，BC→＝(－2，－1)，而0×(－1)－(－4)×(－2)≠0，∴AD→与BC→不共线．∴四边形ABCD是一个梯形．三、解答题9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－12.(2)因为A，B，C三点共线，所以AB→＝λBC→，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以2＝λ，3＝mλ，解得m＝32.10．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．解设P(x，y)，则DP→＝(x－1，y)，DB→＝(5,4)，CA→＝(－3,6)，DC→＝(4,0)．由B，P，D三点共线可得DP→＝λDB→＝(5λ，4λ)．又∵CP→＝DP→－DC→＝(5λ－4,4λ)，由CP→与CA→共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，∴DP→＝47DB→＝207，167，∴点P的坐标为277，167.B级：能力提升练1．平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC→＝12BC→，连接DC，点E在CD上，且CE→＝14ED→，求E点的坐标．解因为AC→＝12BC→，所以2AC→＝BC→，所以2AC→＋CA→＝BC→＋CA→.所以AC→＝BA→.设C点坐标为(x，y)，则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)．所以x＝－5，y＝－2.所以C(－5，－2)．因为CE→＝14ED→，所以4CE→＝ED→.所以4CE→＋4ED→＝5ED→.所以4CD→＝5ED→.设E点坐标为(x′，y′)，则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．所以20－5x′＝36，－15－5y′＝－4，解得x′＝－165，y′＝－115.所以E点坐标为－165，－115.2．已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线．证明如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令|AD→|＝1，则|DC→|＝1，|AB→|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1，1)，A(－1,0)．(1)∵ED→＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC→＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED→＝BC→，∴ED→∥BC→，即DE∥BC.(2)连接MB，MD.∵M为EC的中点，∴M0，12，∴MD→＝(－1,1)－0，12＝－1，12，MB→＝(1,0)－0，12＝1，－12.∴MD→＝－MB→，∴MD→∥MB→.又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．