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第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律|学习目标|1．掌握平面向量数量积的运算性质及常用公式，并会用这些公式进行计算或证明；2．掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.基础知识点对点知识点一数量积的运算律1．设a，b，c是非零向量，则下列说法中正确的是()A．(a·b)·c＝(c·b)·aB．|a－b|≤|a＋b|C．若a·b＝a·c，则b＝cD．若a∥b，a∥c，则b∥c解析：选D数量积不满足结合律与消去律，A、C错；|a－b|与|a＋b|的大小不确定B错，故选D．2．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC→·EM→的取值范围是()A．12，2B．0，32C．12，32D．[0,1]解析：选C如图所示，EC→·EM→＝(EB→＋BC→)·(EB→＋BM→)＝EB→2＋EB→·BM→＋BC→·EB→＋BC→·BM→＝EB→2＋BC→·BM→＝EB→2＋12，∵EB→2∈[0,1]，∴EC→·EM→＝12，32.故选C．知识点二求向量的模与夹角的问题3．已知向量a·(a＋2b)＝0，|a|＝|b|＝2，则向量a，b的夹角为()A．π6B．π3C．2π3D．5π6解析：选C由a·(a＋2b)＝0，得a2＋2a·b＝0，∴4＋2a·b＝0，∴a·b＝－2，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－22×2＝－12，∴〈a，b〉＝2π3，故选C．4．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝()A．2B．22C．32D．42解析：选C由|2a－b|＝10，得(2a－b)2＝10,4a2－4a·b＋b2＝10，∴|b|2－4×|b|×22－6＝0，∴|b|2－22|b|－6＝0，∴|b|＝32，故选C．知识点三有关垂直问题5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，由(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝0.∴(a－b)·(－a－b)＝0.∴－a2＋b2＝0.∴|b|2＝|a|2＝1，∴|a|＝|b|＝1，又a⊥b，∴a·b＝0，∴c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2，∴|c|2＝2.∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案：46．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．解：∵a＋3b与7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0.∵a－4b与7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝0.∴7a2＋16a·b－15b2＝0，①7a2－30a·b＋8b2＝0.②①－②并整理得2a·b＝b2，③将③代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.