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第2章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理学习目标核心素养(教师独具)1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．(重点)2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点)3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．(难点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.自主预习探新知一、平面向量基本定理1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个的向量，那么对于这一平面内的向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝.2．基底：的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．不共线任一λ1e1＋λ2e2不共线基底思考1：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？[提示]能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？[提示]不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．二、平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝__________的形式，我们称它为向量a的．当e1，e2所在直线互相时，这种分解也称为向量a的正交分解．λ1e1＋λ2e2分解垂直思考3：一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？[提示]能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．1．思考辨析(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底．()(2)0能与另外一个向量a构成基底．()(3)平面向量的基底不是唯一的．()[解析]平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√2．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.3[由原式可得3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，所以x－y＝3.]3．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且BP→＝32PC→.(1)用AB→，AC→为基底表示AP→＝________；(2)用AB→，PC→为基底表示AP→＝________.25AB→＋35AC→AB→＋32PC→[(1)∵AP→＝AB→＋BP→，BP→＝32PC→＝35BC→，BC→＝AC→－AB→，∴AP→＝AB→＋35BC→＝AB→＋35AC→－35AB→＝25AB→＋35AC→.(2)AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋32PC→.]合作探究提素养【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对思路点拨：根据有关概念及定理，逐一分析．对向量基底的理解A[平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．]考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．1．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．[解]设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．【例2】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN→＝12NC→，BN与CM相交于点E，设AB→＝a，AC→＝b，试用基底a，b表示向量AE→.用基底表示向量思路点拨：本题可过N作AB的平行线，交CM于D，利用平行线的性质结合向量的线性表示求解，也可利用三点共线的条件结合平面向量定理的唯一性求解．[解]法一：由已知，在△ABC中，AM→＝MB→，且AN→＝12NC→，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示．在△ACM中，CNCA＝NDAM＝23，所以NDMB＝NEEB＝DEEM＝23，所以NE→＝25NB→，AE→＝AN→＋NE→＝13AC→＋25NB→＝13AC→＋25(NA→＋AB→)＝13AC→＋25－13AC→＋AB→＝25AB→＋15AC→＝25a＋15b.法二：易得AN→＝13AC→＝13b，AM→＝12AB→＝12a，由N，E，B三点共线知存在实数m，满足AE→＝mAN→＋(1－m)AB→＝13mb＋(1－m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足AE→＝nAM→＋(1－n)AC→＝12na＋(1－n)b.所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b.因为a，b为基底，所以1－m＝12n，13m＝1－n，解得m＝35，n＝45，所以AE→＝25a＋15b.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.2．如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且AK→＝e1，AL→＝e2，试用e1，e2表示BC→，CD→.[解]设AB→＝a，AD→＝b，则由AL→＝AD→＋DL→，AK→＝AB→＋BK→，得e2＝b＋12a，e1＝a＋12b，∴a＝232e1－e2，b＝232e2－e1，∴AB→＝－CD→＝23(2e1－e2)，∴CD→＝23e2－43e1；BC→＝AD→＝43e2－23e1.[探究问题]1．平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗？提示：是的．2．若e1，e2不共线，且λe1＋μe2＝0，则λ，μ满足什么关系？提示：λ＝μ＝0.平面向量基本定理与向量共线定理的应用【例3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N在AC上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．思路点拨：选取基底AB→，AC→→表示AM→，BN→→设AP→＝λAM→，BP→＝μBN→→由AB→＝AP→＋PB→求λ，μ的值．[解]设AB→＝a，AC→＝b，则AM→＝12(a＋b)，BN→＝－a＋23b.∵A，P，M共线，∴设AP→＝λAM→，∴AP→＝λ2(a＋b)．同理设BP→＝μBN→，∴BP→＝－μa＋23μb.∵AB→＝AP→＋PB→，∴a＝λ2(a＋b)－－μa＋23μb，∴1－λ2－μa＝λ2－23μb.∵a与b不共线，∴λ2＋μ＝1，λ2＝23μ，∴λ＝45，μ＝35，∴AP→＝45AM→，BP→＝35BN→，∴AP∶PM＝4∶1.1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．3．如图，平行四边形ABCD中，H为CD的中点，且AH与BD交于I，求AI∶IH的值．[解]设AB→＝a，AD→＝b，则AH→＝12a＋b，DB→＝a－b.设AI→＝λAH→，DI→＝μDB→，∴AI→＝λ12a＋b＝λ2a＋λb，又AI→＝AD→＋DI→＝b＋μ(a－b)＝μa＋(1－μ)b，故λ2＝μ，λ＝1－μ，∴32λ＝1，∴λ＝23.∴AI∶IH＝2∶1.教师独具1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用，难点是平面向量基本定理的应用．2．本节课要重点掌握以下两个问题(1)正确理解基底向量的概念．(2)用平面向量基本定理解决相关问题．当堂达标固双基1．下列关于基底的说法正确的是()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①③B．②C．①D．②③A[零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．]2．如图所示，△ABC中，若D，E，F依次是AB的四等分点，则以CB→＝e1，CA→＝e2为基底时，CF→＝________.34e1＋14e2[CB→＝e1，CA→＝e2，∴AB→＝e1－e2.∵AF→＝34AB→，∴AF→＝34(e1－e2)，∴CF→＝CA→＋AF→＝e2＋34(e1－e2)＝34e1＋14e2.]3．设一直线上三点A，B，P满足AP→＝mPB→(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则OP→用OA→，OB→表示为________．OP→＝1m＋1OA→＋m1＋mOB→[由AP→＝mPB→，得OP→－OA→＝m(OB→－OP→)，∴OP→＋mOP→＝OA→＋mOB→，∴OP→＝OA→＋mOB→1＋m＝1m＋1OA→＋m1＋mOB→.]4．已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设AD→＝a，AB→＝b，试以a，b为基底表示DC→，BC→，EF→.[解]如图所示，连结FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，∴DC綊FB，∴四边形DCBF为平行四边形．∴DC→＝FB→＝12AB→＝12b，BC→＝FD→＝AD→－AF→＝AD→－12AB→＝a－12b，EF→＝DF→－DE→＝－FD→－DE→＝－BC→－12DC→＝－a－12b－12×12b＝14b－a.