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课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．下列各式计算正确的个数是()①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0B．1C．2D．3解析根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→＝()A．BC→－12BA→B．－BC→＋12BA→C．－BC→－12BA→D．BC→＋12BA→解析解法一：∵D是AB的中点，∴BD→＝12BA→，∴CD→＝CB→＋BD→＝－BC→＋12BA→.解法二：由CD→＝12(CB→＋CA→)＝12[CB→＋(CB→＋BA→)]＝CB→＋12BA→＝－BC→＋12BA→.3．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析AD→＝AC→＋CD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3AB→，∴A，B，D三点共线．故选A．4．若AB→＝3e1，CD→＝－5e1，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰的梯形解析因为AB→＝－35CD→，所以AB∥CD，且|AB→|≠|CD→|.而|AD→|＝|BC→|，所以四边形ABCD为等腰梯形．5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A．14a＋12bB．23a＋13bC．12a＋14bD．13a＋23b解析如图所示，∵E是OD的中点，∴OE→＝14BD→＝14b．又∵△ABE∽△FDE，∴AEFE＝BEDE＝31.∴AE→＝3EF→，∴AE→＝34AF→，在△AOE中，AE→＝AO→＋OE→＝12a＋14b，∴AF→＝43AE→＝23a＋13b．故选B．二、填空题6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________.－4解析∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.∴k＝8λ，2＝λk，解得λ＝12，k＝4或λ＝－12，k＝－4.∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－12，k＝－4.7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是_________________．－118b＋727c解析若a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.∴4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3.解之，得λ1＝－118，λ2＝727.8．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．2解析解法一：因为AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，所以AM→＝1mAB→，AN→＝1nAC→，则MN→＝AN→－AM→＝1nAC→－1mAB→.因为点O为BC的中点，连接AO，所以AO→＝12AB→＋12AC→，则MO→＝AO→－AM→＝12AB→＋12AC→－1mAB→＝12－1mAB→＋12AC→，因为M，O，N三点共线，所以可设MO→＝λMN→，即12－1mAB→＋12AC→＝λnAC→－λmAB→，则12－1m＋λmAB→＋12－λnAC→＝0，由于AB→，AC→不共线，所以12－1m＋λm＝0，12－λn＝0，消去λ得12－1m＋n2m＝0，变形整理可得m＋n＝2.解法二：在△ABC中，连接AO.由于O是BC的中点，因此AO→＝12(AB→＋AC→)＝12AB→＋12AC→.由于AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则AO→＝12mAM→＋12nAN→.由于M，O，N三点共线，则12m＋12n＝1，从而m＋n＝2.三、解答题9．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝23AD，AB→＝a，AC→＝b．(1)用a，b分别表示向量AE→，BF→；(2)求证：B，E，F三点共线．解(1)∵AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(a＋b)，∴AE→＝23AD→＝13(a＋b)．∵AF→＝12AC→＝12b，∴BF→＝AF→－AB→＝－a＋12b．(2)证明：由(1)知BF→＝－a＋12b，BE→＝AE→－AB→＝13(a＋b)－a＝－23a＋13b＝23－a＋12b，∴BE→＝23BF→，∴BE→与BF→共线．又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．10．设e1，e2是两个不共线的向量，如果AB→＝3e1－2e2，BC→＝4e1＋e2，CD→＝8e1－9e2.(1)求证A，B，D三点共线；(2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线；(3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围．解(1)证明：因为BD→＝BC→＋CD→＝4e1＋e2＋8e1－9e2＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4AB→，所以AB→与BD→共线．因为AB→与BD→有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线，所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．因为e1，e2不共线，所以2λ＝μ，1＝λμ.所以λ＝±22.(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．因为e1，e2不共线，所以1＝λμ，λ＝μ所以λ＝±1.所以当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．B级：能力提升练1．如图所示，向量OA→，OB→，OC→的终点A，B，C在一条直线上，且AC→＝－3CB→.设OA→＝p，OB→＝q，OC→＝r，则以下等式中成立的是()A．r＝－12p＋32qB．r＝－p＋2qC．r＝32p－12qD．r＝－q＋2p解析∵OC→＝OB→＋BC→，AC→＝－3CB→＝3BC→，∴BC→＝13AC→.∴OC→＝OB→＋13AC→＝OB→＋13(OC→－OA→)．∴r＝q＋13(r－p)．∴r＝－12p＋32q.2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC．若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．12解析由已知DE→＝BE→－BD→＝23BC→－12BA→＝23(AC→－AB→)＋12AB→＝－16AB→＋23AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.