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第2章平面向量2.2向量的线性运算2.2.2向量的减法学习目标核心素养(教师独具)1.理解向量减法的意义及减法法则．(重点)2.掌握向量减法的几何意义．(难点)3.能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算核心素养.自主预习探新知向量的减法(1)向量减法的定义若，则向量x叫做a与b的差，记为，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)向量的减法法则如图所示，以O为起点，作向量OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从的终点指向的终点的向量就是a－b.b＋x＝aa－bba1．思考辨析(1)OP→－OQ→＝PQ→.()(2)若－b与a同向，则a－b与a同向．()(3)向量的减法不满足结合律．()[解析](1)×.OP→－OQ→＝QP→；(2)√.－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向．(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．[答案](1)×(2)√(3)×2．化简AB→－AC→＋BC→等于________．0[AB→－AC→＋BC→＝CB→＋BC→＝0.]3．化简OP→－QP→＋PS→＋SP→的结果等于________．OQ→[OP→－QP→＋PS→＋SP→＝OP→＋PS→＋SP→－QP→＝OP→＋PQ→＝OQ→.]合作探究提素养【例1】如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.思路点拨：根据相反向量及三角形法则求作．向量减法的几何作图[解]法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．如图①所示，以A为起点分别作向量AB→和AC→，使AB→＝a，AC→＝b，连结CB，得向量CB→，再以C为起点作向量CD→，使CD→＝c，连结DB，得向量DB→.则向量DB→即为所求作的向量a－b－c.法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.(1)作AB→＝－b和BC→＝－c；(2)作OA→＝a，则OC→＝a－b－c.求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]如图，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，则CB→＝a＋b－c.【例2】(1)化简下列式子：①NQ→－PQ→－NM→－MP→；②(AB→－CD→)－(AC→－BD→)．向量减法法则的应用(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用向量a，b，c表示向量CD→，BC→，BD→.思路点拨：(1)充分利用减法的运算律求解．(2)寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．[解](1)①原式＝NQ→＋QP→－(NM→＋MP→)＝NP→－NP→＝0.②(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0.(2)因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD→＝AE→＝c；BC→＝AC→－AB→＝b－a，故BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.1向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.2用几个基本向量表示其他向量的技巧：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.2．如图所示，已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，OF→＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)AD→－AB→；(2)AB→＋CF→；(3)BF→－BD→.[解](1)AD→－AB→＝BD→＝OD→－OB→，∵OD→＝d，OB→＝b，∴AD→－AB→＝d－b.(2)∵AB→＋CF→＝(OB→－OA→)＋(OF→－OC→)，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OF→＝f，∴AB→＋CF→＝b＋f－a－c.(3)BF→－BD→＝DF→＝OF→－OD→，∵OF→＝f，OD→＝d，∴BF→－BD→＝f－d.[探究问题]1．若a与b共线，怎样作出a－b?提示：①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b；|a－b|与a，b之间的关系②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b；③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b.2．结合探究问题1的图示及向量的减法法则，探究|a－b|与a，b之间的大小关系？提示：当a与b不共线时，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.【例3】已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.思路点拨：|a＋b|＝|a－b|→判断a与b的位置关系→求|a－b|的值．[解]如图，设AB→＝a，AD→＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD.则AC→＝a＋b，DB→＝a－b，因为|a＋b|＝|a－b|，所以|AC→|＝|DB→|.又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形．故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|AB→|＝6，|AD→|＝8，由勾股定理得|DB→|＝|AB→|2＋|AD→|2＝62＋82＝10，所以|a－b|＝10.1．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量AB→＝a，AD→＝b，则两条对角线表示的向量为AC→＝a＋b，BD→＝b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．3．已知向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝3，求|a－b|.[解]在▱ABCD中，使AB→＝a，AD→＝b，则AC→＝a＋b，DB→＝a－b.由于|a|＝|b|＝1，所以ABCD为菱形，且AC⊥BD，交点为O，∴AO＝32，AB＝1，OB＝AB2－AO2＝12，∴BD＝2BO＝1，即|a－b|＝1.教师独具1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算；(2)向量减法及其几何意义；(3)利用已知向量表示未知向量．3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．当堂达标固双基1．在平行四边形ABCD中，下列结论不正确的是()A.AC→－AD→＝AB→B.AB→－DC→＝0C.AD→－BA→＝AC→D.AB→－AD→＝BD→D[∵ABCD是平行四边形，∴AB→＝DC→，∴AC→－AD→＝DC→＝AB→，故A正确；又AB→－DC→＝0，故B正确；又AD→＝BC→，∴AD→－BA→＝BC→－BA→＝AC→，故C正确；又AB→－AD→＝DB→≠BD→，故D错误．]2．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.02[若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0.又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1.∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.]3．如图，在四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→＝________.a＋c－b[由三角形法则可知DC→＝AC→－AD→＝(AB→＋BC→)－AD→＝a＋c－b.]4．如图所示，▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b.(1)用a，b表示AC→，DB→；(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？[解](1)AC→＝AD→＋AB→＝b＋a，DB→＝AB→－AD→＝a－b.(2)由(1)知，a＋b＝AC→，a－b＝DB→.若a＋b与a－b所在直线垂直，则AC⊥BD.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即应满足|a|＝|b|.(3)假设|a＋b|＝|a－b|，即|AC→|＝|BD→|.∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴a⊥b，∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.(4)不可能，∵▱ABCD的两条对角线不可能平行，∴a＋b与a－b不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．