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第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义学习目标核心素养1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点)3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)1.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升了学生的直观想象和数学建模的核心素养.2.对比数的加法，给出了向量的加法运算律，培养学生的数学运算的核心素养.自主预习探新知1．向量加法的定义定义：求的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋＝．2．向量求和的法则两个向量和0a三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作，即a＋b＝AB→＋BC→＝.AC→a＋b平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作AB→＝a，AD→＝b，以AB→，AD→为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b.AC→思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示]不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝．(2)结合律：(a＋b)＋c＝．a＋(b＋c)b＋a1．下列各式不一定成立的是()A．a＋b＝b＋aB．0＋a＝aC．AC→＋CB→＝AB→D．|a＋b|＝|a|＋|b|D[A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]2.CB→＋AD→＋BA→等于()A．DB→B．CA→C．CD→D．DC→C[CB→＋AD→＋BA→＝CB→＋BA→＋AD→＝CD→.]3．如图，在平行四边形ABCD中，DA→＋DC→＝．DB→[由平行四边形法则可知DA→＋DC→＝DB→.]4．小船以103km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h，则小船实际航行速度的大小为km/h.20[根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为（103）2＋102＝20(km/h)．]合作探究提素养向量加法的三角形法则和平行四边形法则[探究问题]1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An→的运算结果是什么？提示：将三角形法则进行推广可知A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An→＝A1An→.【例1】(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：①AB→＋DF→＝；②AD→＋FC→＝；③AD→＋BC→＋FC→＝．(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b；②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.甲乙思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．(1)①AC→②AB→③AC→[如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①AB→＋DF→＝AB→＋BC→＝AC→.②AD→＋FC→＝AD→＋DB→＝AB→.③AD→＋BC→＋FC→＝AD→＋DF→＋FC→＝AC→.](2)[解]①首先作向量OA→＝a，然后作向量AB→＝b，则向量OB→＝a＋b.如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，再作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b，然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求．1．在本例(1)条件下，求CB→＋CF→.[解]因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以CB→＋CF→＝CD→.2．在本例(1)图形中求作向量DA→＋DF→＋CF→.[解]过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，则DA→＋DF→＝DG→，作GH→＝CF→，连接DH→，则DH→＝DA→＋DF→＋CF→，如图所示．1．向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．(2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．向量加法运算律的应用【例2】(1)化简：①BC→＋AB→；②DB→＋CD→＋BC→；③AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：①DG→＋EA→＋CB→；②EG→＋CG→＋DA→＋EB→.思路点拨：根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．[解](1)①BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→；②DB→＋CD→＋BC→＝BC→＋CD→＋DB→＝0；③AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝0.(2)①DG→＋EA→＋CB→＝GC→＋BE→＋CB→＝GC→＋CB→＋BE→＝GB→＋BE→＝GE→；②EG→＋CG→＋DA→＋EB→＝EG→＋GD→＋DA→＋AE→＝ED→＋DA→＋AE→＝EA→＋AE→＝0.向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．1．向量(AB→＋PB→)＋(BO→＋BM→)＋OP→化简后等于()A．BC→B．AB→C．AC→D．AM→D[原式＝(AB→＋BM→)＋(PB→＋BO→＋OP→)＝AM→＋0＝AM→.]向量加法的实际应用【例3】如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．思路点拨：作出对应的几何图形，构造有关向量→利用三角形法则或平行四边形法则运算→回答实际问题[解]如图所示，设CE→，CF→分别表示A，B所受的力，10N的重力用CG→表示，则CE→＋CF→＝CG→.易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴|CE→|＝|CG→|·cos30°＝10×32＝53，|CF→|＝|CG→|·cos60°＝10×12＝5.∴A处所受的力的大小为53N，B处所受的力的大小为5N.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解]设AB→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.当堂达标固双基1．下列判断正确的是()A．任意两个向量的和仍然是一个向量．B．两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．C．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．D．|a|＋|b|＞|a＋b|A[任意两个向量的和仍是一个向量，根据向量加法的几何意义知B，C，D均错误．]2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为BC→的是()A．BA→＋AD→＋DC→B．BD→＋DA→＋AC→C．AB→＋BD→＋DC→D．DC→＋BA→＋AD→C[在A中，BA→＋AD→＋DC→＝BD→＋DC→＝BC→；在B中，BD→＋DA→＋AC→＝BA→＋AC→＝BC→；在C中，AB→＋BD→＋DC→＝AD→＋DC→＝AC→；在D中，DC→＋BA→＋AD→＝DC→＋BD→＝BD→＋DC→＝BC→.]3．若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝，a＋b的方向是．82km东北方向[如图所示，作OA→＝a，AB→＝b，则a＋b＝OA→＋AB→＝OB→.所以|a＋b|＝|OB→|＝82＋82＝82(km)，因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．]4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)OA→＋OC→；(2)BC→＋FE→.[解](1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得OA→＋OC→＝OB→.(2)由题图可知，BC→＝FE→＝OD→＝AO→，∴BC→＋FE→＝AO→＋OD→＝AD→.