2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.2.1 平面向量基本定理课件 新人教B版必修4

第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理学习目标核心素养1．了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示．(重点)2．理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式．(难点)1．通过平面向量基本定理的学习，培养学生数学抽象核心素养．2．借助平面向量基本定理的应用，提升学生的逻辑推理和直观想象核心素养.自主预习探新知1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个的向量，那么该平面内的___________a，存在唯一的a1，a2，使a＝.(2)基底：把向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．a1e1＋a2e2不平行任一向量一对实数不共线a1e1＋a2e22．直线的向量参数方程式(1)向量参数方程式：已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式OP→＝______________；反之，对每一个实数t，在直线l上都有的一个点P与之对应．向量等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称．任意唯一参数(1－t)OA→＋tOB→(2)线段中点的向量表达式：在向量等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→中，令t＝__，点M是AB的中点，则OM→＝_____________．这是线段AB的中点的向量表达式．2．直线的向量参数方程式12(OA→＋OB→)12思考：平面向量的基底选取有什么要求？它是唯一的吗？[提示]平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，基底不唯一，但选取时应尽量选有利于解决问题的基底，并且基底一旦选中，给定向量沿基底的分解是唯一确定的．1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.AB→，DC→B.AD→，BC→C.BC→，CB→D.AB→，DA→D[由于AB→，DA→不共线，所以是一组基底．]2．已知AD为△ABC的边BC上的中线，则AD→等于()A.AB→＋AC→B.AB→－AC→C.12AB→－12AC→D.12AB→＋12AC→D[根据线段BC的中点向量表达式可知AD→＝12(AB→＋AC→)＝12AB→＋12AC→，故选D.]3．下列关于基底的说法正确的是________(填序号)．①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．②基底中的向量可以是零向量．③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．①③[①③正确；对于②，由于零向量与任意向量平行，所以基底中不能有零向量．]合作探究提素养用基底表示向量【例1】设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM→＝13BC→，CN→＝13CA→，AP→＝13AB→，若AB→＝a，AC→＝b，试用a，b将MN→，NP→，PM→表示出来．[思路探究]把a，b看成基底，先将三角形三边上的有关向量表示出来，然后再根据向量加法或减法的三角形法则，即可将MN→，NP→，PM→用基底来表示．[解]NP→＝AP→－AN→＝13AB→－23AC→＝13a－23b.MN→＝CN→－CM→＝－13AC→－23CB→＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b.PM→＝－MP→＝－(MN→＋NP→)＝13(a＋b)．平面向量基本定理的作用以及注意点：1根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.2要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.1.如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若OA→＝a，OB→＝b，则OP→＝________，OQ→＝________.(用a，b表示)23a＋13b13a＋23b[OP→＝AP→－AO→＝13AB→＋OA→＝13(OB→－OA→)＋OA→＝23OA→＋13OB→＝23a＋13b.OQ→＝AQ→－AO→＝23AB→＋OA→＝23(OB→－OA→)＋OA→＝13OA→＋23OB→＝13a＋23b.]直线的向量参数方程式的应用【例2】已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有OC→＝3λOA→＋(1－3λ)OB→(λ∈R，点O为直线AB外一点)，则点C的轨迹是什么图形？并说明理由．[思路探究]将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点．[解]将已知向量等式两边同时减去OA→，得OC→－OA→＝(3λ－1)OA→＋(1－3λ)OB→＝(1－3λ)(OB→－OA→)＝(1－3λ)AB→，即AC→＝(1－3λ)AB→，λ∈R，又AC→，AB→共始点，∴A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.理解直线的向量参数方程式时要注意OP→＝1－tOA→＋tOB→中三向量共始点，左边向量的系数是1，右边两向量的系数之和为1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.2.如图，设一直线上三点A，B，P满足AP→＝λPB→(λ≠－1)，O是平面上任意一点，则()A.OP→＝OA→＋λOB→1＋λ(λ≠－1)B.OP→＝OA→＋λOB→1－λC.OP→＝OA→－λOB→1＋λ(λ≠－1)D.OP→＝OA→－2λOB→1－λA[∵一条直线上三点A、B、P满足AP→＝λPB→(λ≠－1)，∴OP→－OA→＝λ(OB→－OP→)，化为OP→＝OA→＋λOB→1＋λ(λ≠－1)．]平面向量基本定理的综合应用[探究问题]1．在向量等式OP→＝xOA→＋yOB→中，若x＋y＝1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？[提示]三点P，A，B在同一直线上．在向量等式OP→＝xOA→＋yOB→中，若x＋y＝1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则x＋y＝1.2．平面向量基本定理的实质是什么？[提示]平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解．【例3】如图所示，在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求OP→.[思路探究]可利用OP→＝tOM→及OP→＝ON→＋NP→＝ON→＋sNB→两种形式来表示OP→，并都转化为以a，b为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而求得OP→.[解]OM→＝OA→＋AM→＝OA→＋23AB→＝OA→＋23(OB→－OA→)＝13a＋23b.因为OP→与OM→共线，故可设OP→＝tOM→＝t3a＋2t3b.又NP→与NB→共线，可设NP→＝sNB→，OP→＝ON→＋sNB→＝34OA→＋s(OB→－ON→)＝34(1－s)a＋sb，所以341－s＝t3，s＝23t，解得t＝910，s＝35，所以OP→＝310a＋35b.1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2结论λ1＝λ2，μ1＝μ22.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理；(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．3．如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN→＝12NC→，BN与CM相交于点E，设AB→＝a，AC→＝b，试用基底a，b表示向量AE→.[解]易得AN→＝13AC→＝13b，AM→＝12AB→＝12a，由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足AE→＝mAN→＋(1－m)AB→＝13mb＋(1－m)a.由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：AE→＝nAM→＋(1－n)AC→＝12na＋(1－n)b.所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b，由于a，b为基底，所以1－m＝12n，13m＝1－n，解得m＝35，n＝45，所以AE→＝25a＋15b.当堂达标固双基1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定B[∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线．]2．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．平面内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任意一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对A[考查平面向量基本定理．因为e1，e2不共线，所以λ1e1＋λ2e2＝0，只能λ1＝λ2＝0.B选项λ1，λ2∈R不对，应该是唯一数对；C选项λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D选项应该是唯一一对．]3．已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有CD→＝43CA→＋λCB→，则λ＝________.－13[∵A，B，D三点共线，∴存在实数t，使AD→＝tAB→，则CD→－CA→＝t(CB→－CA→)，即CD→＝CA→＋t(CB→－CA→)＝(1－t)CA→＋tCB→，∴1－t＝43，t＝λ，即λ＝－13.]4．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.[解]∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共线，∴3x－2y＝7，－2x＋y＝－4，解得x＝1，y＝－2，∴c＝a－2b.