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第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法学习目标核心素养1．掌握向量减法的运算，并理解其几何意义．(重点)2．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(难点)3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)1．通过向量减法的学习，培养学生直观想象核心素养．2．借助向量减法的应用，提升学生直观想象和逻辑推理核心素养.自主预习探新知1．向量的减法(1)向量减法的定义：已知向量a，b(如图)，作OA→＝a，作OB→＝b，则b＋BA→＝a，向量BA→叫做向量a与b的差，并记作，即BA→＝a－b＝.a－bOA→－OB→1．向量的减法(2)向量减法的两个重要结论：①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为，被减向量的终点为的向量．②一个向量BA→等于它的终点相对于点O的位置向量OA→减去它的始点相对于点O的位置向量OB→，或简记“量减向量”．始点终点终点始点2．相反向量(1)相反向量的定义：与向量a方向且的向量叫做a的相反向量，记作___.(2)相反向量的性质：①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；②－(－a)＝a；③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.相反等长－a(3)向量减法的理解：在向量减法的定义式b＋BA→＝a的两边同时加(－b)，由b＋(－b)＝0得BA→＝a＋(－b)，这就是说，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的．2．相反向量相反向量思考：“向量的减法实质是向量加法的逆运算”，这种说法对吗？[提示]对．利用相反向量的定义，就可以把向量减法化为向量加法．1．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，则BD→的相反向量是()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－bA[BD→＝AD→－AB→＝b－a，所以BD→的相反向量为a－b.]2．下列等式中，正确的个数为()①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.A．3B．4C．5D．6C[只有⑥不正确，故选C.]3．在△ABC中，D为BC的中点，设AB→＝c，AC→＝b，BD→＝a，AD→＝d，则d－a＝________.c[d－a＝d＋(－a)＝AD→＋DB→＝AB→＝c.]合作探究提素养向量减法及其几何意义【例1】(1)AC→可以写成：①AO→＋OC→；②AO→－OC→；③OA→－OC→；④OC→－OA→.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④(2)化简：①AB→＋OA→－OB→＝________；②OB→－OA→－OC→－CO→＝________.(3)已知菱形ABCD的边长为2，则向量AB→－CB→＋CD→的模为________，|AC→|的范围是________．[思路探究]运用向量减法的三角形法则及相反向量求解．(1)D(2)①0②AB→(3)2(0,4)[(1)因为AO→＋OC→＝AC→，OC→－OA→＝AC→，所以选D.(2)①AB→＋OA→－OB→＝AB→＋(OA→－OB→)＝AB→＋BA→＝0；②OB→－OA→－OC→－CO→＝(OB→－OA→)－(OC→＋CO→)＝AB→.(3)因为AB→－CB→＋CD→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→，又|AD→|＝2，所以|AB→－CB→＋CD→|＝|AD→|＝2.又因为AC→＝AB→＋AD→，且在菱形ABCD中，|AB→|＝2，所以||AB→|－|AD→|||AC→|＝|AB→＋AD→||AB→|＋|AD→|，即0|AC→|4.]1．向量加法与减法的几何意义的联系：(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若AB→＝a，AD→＝b，则AC→＝a＋b，DB→＝a－b.(2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．3．向量加减法化简的两种形式：(1)首尾相连且为和．(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．1．下列各式中不能化简为AD→的是()A．(AB→－DC→)－CB→B．AD→－(CD→＋DC→)C．－(CB→＋MC→)－(DA→＋BM→)D．－BM→－DA→＋MB→D[选项A中(AB→－DC→)－CB→＝AB→＋CD→＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→；选项B中AD→－(CD→＋DC→)＝AD→－0＝AD→；选项C中－(CB→＋MC→)－(DA→＋BM→)＝－CB→－MC→－DA→－BM→＝BC→＋CM→＋AD→＋MB→＝(MB→＋BC→＋CM→)＋AD→＝AD→.]利用已知向量表示其他向量【例2】如图所示，已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，OF→＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)AD→－AB→；(2)AB→＋CF→；(3)BF→－BD→.[思路探究]运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a，b，c，d，e，f的和与差来表示．[解](1)∵OB→＝b，OD→＝d，∴AD→－AB→＝BD→＝OD→－OB→＝d－b.(2)∵OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OF→＝f，∴AB→＋CF→＝(OB→－OA→)＋(OF→－OC→)＝b＋f－a－c.(3)∵OD→＝d，OF→＝f，∴BF→－BD→＝DF→＝OF→－OD→＝f－d.1．解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．2．通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－AB→”改为“BA→”．2.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用a，b，c表示向量BD→，BC→，BE→，CD→及CE→.[解]∵四边形ACDE为平行四边形，∴CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，BE→＝AE→－AB→＝c－a，CE→＝AE→－AC→＝c－b，∴BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.向量减法的三角不等式及其取等条件[探究问题]1．若|AB→|＝8，|AC→|＝5，则|BC→|的取值范围是什么？[提示]由BC→＝BA→＋AC→及三角不等式，得|BA→|－|AC→|≤|BA→＋AC→|≤|BA→|＋|AC→|，又因为|BA→|＝|AB→|＝8，所以3≤|BC→|＝|BA→＋AC→|≤13，即|BC→|∈[3,13]．2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？[提示]它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a，b不共线时，作OA→＝a，AB→＝b，则a＋b＝OB→，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a|－|b|||a＋b||a|＋|b|.同理可证||a|－|b|||a－b||a|＋|b|.(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a||b|，作法同上，如图(3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【例3】设a和b的长度均为6，夹角为2π3，则|a－b|等于________．[思路探究]画出平行四边形数形结合求解．63[如图，作OA→＝a，OB→＝b，则|a－b|＝|BA→|，在Rt△BCO中，∠BOC＝π3，|BO→|＝6，∴|BC→|＝33，∴|a－b|＝|BA→|＝2|BC→|＝63.]利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的.3．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.[解]如图，作OA→＝a，OB→＝b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则有OC→＝a＋b，BA→＝a－b，即|a＋b|与|a－b|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|a＋b|＝|a－b|，所以该四边形为矩形，从而|a－b|＝62＋82＝10.当堂达标固双基1．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.AB→＝DC→B.AD→＋AB→＝AC→C.AB→－AD→＝BD→D.AD→＋CB→＝0C[A项显然正确，由平行四边形法则知B项正确.AB→－AD→＝DB→，故C项错误．D项中AD→＋CB→＝AD→＋DA→＝0.]2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF→＝OF→＋OE→B.EF→＝OF→－OE→C.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→B[因为O，E，F三点不共线，所以在△OEF中，由向量减法的几何意义，得EF→＝OF→－OE→，故选B.]3．已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________.①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同；②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；③若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模；④若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同．①②④[当a，b方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当a，b方向相反时有||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.因此①②④为真命题．]4．化简：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)．[解]法一：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0.法二：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0.