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第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念学习目标核心素养1．理解向量、零向量、基线、向量模的意义．(重点)2．掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置．(重点)3．了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系．(重点、难点)1．通过向量相关概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养．2．借助向量的表示及应用，培养学生直观想象核心素养.自主预习探新知1．向量及其几何表示(1)向量的定义具有和的量称为向量．(2)自由向量只有大小和方向，而无的向量叫做自由向量．大小方向特定的位置1．向量及其几何表示(3)向量的表示①有向线段：具有方向的线段．②向量可以用表示，向量AB→的大小，也就是向量AB→的______，记作_______，向量也可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB→，CD→.③的有向线段表示同一向量，或相等的向量．有向线段长度同向且等长|AB→|2．向量的有关概念(1)零向量：长度等于的向量，叫做零向量，记作0.规定：零向量与平行．(2)相等向量：且的向量叫做相等向量．(3)平行向量(共线向量)：如果向量的互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．也就是说方向或的向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a平行于b，记作a∥b.零任意向量同向等长基线相同相反2．向量的有关概念(4)位置向量：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA→＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所，这时向量OA→，又常叫做点A相对于点O的位置向量．唯一确定思考：向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D必在同一条直线上，这种说法对吗？[提示]这种说法不对，共线向量还可以指表示向量的有向线段所在的直线平行，故A，B，C，D不一定共线．1．下列说法中正确的个数是()①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0B．1C．2D．3B[只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误，④正确．]2．下列各量中是向量的是()A．密度B．电流C．面积D．浮力D[浮力既有大小又有方向，因此浮力是向量，而密度、电流、面积只有大小没有方向，不是向量．]3．下列说法正确的是()A．若|a|＝0，则a＝0B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a与b是平行向量D．若a∥b，则a＝bA[|a|＝0，则a是零向量，故A项正确．]合作探究提素养向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．[思路探究]解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．向量的平行问题不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等．1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．③[①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．②错误．如|0|＝0.③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB→，CD→必须在同一直线上．]向量的表示及应用【例2】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求AD→的模．[思路探究]可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．可把AD→放在直角三角形中求得|AD→|.[解](1)作出向量AB→，BC→，CD→，如图所示：(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝52＋102＝55(米)，所以|AD→|＝55米．1．向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB→，CD→，EF→等．2．两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达点D.(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.[解](1)作出向量AB→，BC→，CD→，如图所示．(2)由题意知AB→与CD→方向相反，∴AB→与CD→共线，∴在四边形ABCD中，AB∥CD，又∵|AB→|＝|CD→|，∴四边形ABCD为平行四边形，∴|AD→|＝|BC→|＝200(公里).相等向量与共线向量[探究问题]1．向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？[提示]向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线．2．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？[提示]不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．【例3】(1)如图，在等腰梯形ABCD中，①AB→与CD→是共线向量；②AB→＝CD→；③AB→CD→.以上结论中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)下列说法中，正确的序号是________．①任何两个长度相等的向量都是相等向量；②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD是平行四边形，则AB→＝DC→；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．[思路探究]可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断．(1)A(2)②④[(1)①由题意可知，AB与CD不平行，所以AB→与CD→非共线向量，故①错误；由①知②错误；③两个向量之间不能比较大小，故③错误；故答案选A.(2)①相等向量由大小和方向两个因素决定，故①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB→＝DC→，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确．]相等向量与共线向量需注意的四个问题：(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)．(4)三点A，B，C共线⇔AB→，AC→共线．3．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形．(1)图中所标出的向量与AB→共线的有________；(2)图中所标出的向量与AB→相等的有________；(3)图中所标出的向量与AB→模相等的有________；(4)图中所标出的向量与EC→相等的有________．[答案](1)BE→，CD→(2)BE→(3)BC→，CD→，DA→，BE→(4)BD→当堂达标固双基1．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一条线段B．一条直线C．圆上一群孤立的点D．一个半径为1的圆B[因为它们是平行向量，当始点相同时，终点位置在这条直线上，故这些向量的终点构成的图形是一条直线．]2．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③任意向量与零向量都共线．A．①②B．②③C．①③D．①②③C[由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③正确，故选C.]3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．(填序号)④⑥[由向量的相关概念可知④⑥正确．]4.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．(1)分别写出图中与OA→，OB→，OC→相等的向量；(2)与OA→的长度相等、方向相反的向量有哪些？[解](1)与OA→相等的向量有EF→，DO→，CB→；与OB→相等的向量有DC→，EO→，FA→；与OC→相等的向量有FO→，ED→，AB→.(2)与OA→的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.