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第2章平面向量2.1向量的概念及表示学习目标核心素养(教师独具)1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．(重点)2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3．理解向量的几何表示．(重点)通过学习本节内容提升学生的数学抽象和直观想象核心素养.自主预习探新知一、向量的定义及表示定义既有又有的量称为向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的，箭头所指的方向表示向量的，以A为起点、B为终点的向量记为___；(2)字母表示：用小写字母a，b，c表示模向量AB→的大小称为向量的(或称为模)，记作____大小方向大小方向AB→长度|AB→|思考1：在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？[提示]面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？[提示]数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．二、向量的有关概念及其表示名称定义表示方法零向量长度为的向量记作0单位向量长度等于个单位长度的向量平行向量(或共线向量)方向或的向量a与b平行(或共线)，记作a∥b相等向量长度且方向的向量a与b相等，记作a＝b相反向量长度且方向的向量a的相反向量记作－a01相同相反非零相等相同相等相反思考3：已知A，B为平面上不同两点，那么向量AB→和向量BA→相等吗？它们共线吗？[提示]因为向量AB→和向量BA→方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．思考4：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？[提示]不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．1．思考辨析(1)有向线段就是向量．()(2)两个向量的模能比较大小．()(3)有向线段可以用来表示向量．()(4)若a＝b，b＝c，则a＝c.()(5)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反．()(6)若非零向量AB→∥CD→，那么AB∥CD.()(7)单位向量的模都相等．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)×(6)×(7)√2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．①⑥⑦⑧[一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．]合作探究提素养【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)任何两个单位向量都是平行向量；(2)零向量是没有方向的；(3)在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量DE→与CB→是平行向量；向量的概念(4)对于向量a、b、c，若a∥b，且b∥c，则a∥c；(5)若非零向量AB→与CD→是平行向量，则直线AB与直线CD平行；(6)非零向量AB→与BA→是模相等的平行向量．思路点拨：解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．[解](1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；(2)错误．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；(3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量DE→与CB→方向相反，是平行向量；(4)错误．b为零向量时，有a∥b且b∥c，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；(5)错误．A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；(6)正确．非零向量AB→与BA→的模相等，方向相反，二者是平行向量．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．1．判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．【例2】一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.思路点拨：解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．向量的表示[解](1)如图：(2)由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，即AB∥CD.又∵|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴|AD→|＝|BC→|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度模，选择合适的比例关系作出向量.2．(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且|AC→|＝5，画出所有的向量AC→.(2)已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行10002km到达D地．①作出向量AB→，BC→，CD→，DA→；②问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？[解](1)画出所有的向量AC→，如图所示．(2)①由题意，作出向量AB→，BC→，CD→，DA→，如图所示，②依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2000km.又因为∠ACD＝45°，CD＝10002，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝10002km，∠CAD＝45°.所以D地在A地的东南方向，距A地10002km.[探究问题]1．两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？提示：不一定平行．2．若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？提示：向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)．共线向量3．向量平行具备传递性吗？举例说明．提示：向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c.【例3】如图，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC→平行且长度为22的向量个数有______个．思路点拨：结合向量相等、平行的条件求解．8[如图所示，满足与AC→平行且长度为22的向量有AF→，FA→，EC→，CE→，GH→，HG→，IJ→，JI→共8个．]1．(变条件)本例中，与向量AC→同向且长度为22的向量有多少个？[解]与向量AC→同向且长度为22的向量占与向量AC→平行且长度为22的向量中的一半，共4个．2．(变条件)本例中，如图，与向量AO→相等的向量有多少个？[解]题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量AO→方向相同的向量与其相等，共有8个．1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．教师独具1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题(1)向量有关概念的辨析．(2)向量的表示．(3)相等向量与共线向量的应用．3．本节课要注意两个区别(1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．②数量可以比较大小，向量不能比较大小．(2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．当堂达标固双基1．下列说法不正确的是()A．零向量的长度为零B．零向量与任一向量都是共线向量C．零向量没有方向D．零向量的方向是任意的C[零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错．]2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，则|AB→|＝1，|AC→|＝2，则|BC→|＝________.5[因为|BC→|2＝|AB→|2＋|AC→|2＝5，所以|BC→|＝5.]3．如图所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.在以A，B，C，D，E，F，O为起点或终点的向量中：(1)模与a的模相等的向量有________个．(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有________．(3)与a共线的向量有________．(4)请一一列出与a，b，c相等的向量________．(1)23(2)OD→，BC→，AO→，FE→(3)EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→(4)与a相等的有EF→，DO→，CB→；与b相等的有DC→，EO→，FA→；与c相等的有ED→，FO→，AB→[(1)满足条件的向量有23个．(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.(3)与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.(4)与a相等的有EF→，DO→，CB→；与b相等的有DC→，EO→，FA→；与c相等的有ED→，FO→，AB→.]4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°；(2)AB→，使|AB→|＝4，点B在点A正东；(3)BC→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA→如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB→如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC→如图所示．