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第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量学习目标核心素养1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)1.从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养．2．借助类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养；3．通过相等向量和平行向量的学习，提升了学生逻辑推理的核心素养.自主预习探新知1．向量与数量(1)向量：既有，又有的量叫做向量．(2)数量：只有，没有的量称为数量．大小方向大小方向2．向量的几何表示(1)的线段叫做有向线段．它包含三个要素：、、．(2)向量可以用表示．向量AB→的大小，也就是向量AB→的(或称模)，记作．向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB→，CD→.带有方向起点方向长度有向线段长度|AB→|思考：(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？[提示](1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．3．向量的有关概念零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于个单位的向量平行向量(共线向量)方向的非零向量向量a，b平行，记作规定：零向量与任一向量相等向量长度且方向的向量向量a与b相等，记作1相同或相反a∥b平行相等相同a＝b1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量()A．都相等B．都共线C．都不共线D．模都相等D[因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个B[①②③不是向量，④⑤是向量．]3．已知|AB→|＝1，|AC→|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC→|＝．3[三角形ABC是以B为直角的直角三角形，所以|BC→|＝22－12＝3.]4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是(填序号)．(1)AD→与BC→；(2)OB→与OD→；(3)AC→与BD→；(4)AO→与OC→.(1)(4)[由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD→＝BC→，OB→≠OD→，AC→≠BD→，AO→＝OC→.]合作探究提素养向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．思路点拨：解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．2．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．1．给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c.②若单位向量的起点相同，则终点相同．③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是．③[①错误．若b＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB→，CD→必须在同一直线上．]向量的表示及应用【例2】(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB→，使|AB→|＝4，点B在点A正东；③BC→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°.(1)12[可以写出12个向量，分别是：AB→，AC→，AD→，BC→，BD→，CD→，BA→，CA→，DA→，CB→，DB→，DC→.](2)[解]①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA→如图所示．②由于点B在点A正东方向处，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB→如图所示．③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC→如图所示．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB→，CD→，EF→等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求AD→的模．[解](1)作出向量AB→，BC→，CD→，如图所示：(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝52＋102＝55(米)，所以|AD→|＝55米.相等向量和共线向量[探究问题]1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．若AB→∥CD→，则从直线AB与直线CD的关系和AB→与CD→的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况(1)直线AB和直线CD重合，AB→与CD→同向；(2)直线AB和直线CD重合，AB→与CD→反向；(3)直线AB∥直线CD，AB→与CD→同向；(4)直线AB∥直线CD，AB→与CD→反向．【例3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．思路点拨：根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.(2)与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.(3)与a相等的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，FA→；与c相等的向量有FO→，ED→，AB→.1．本例条件不变，写出与向量BC→相等的向量．[解]相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与BC→相等的向量有AO→，OD→，FE→.2．本例条件不变，写出与向量BC→长度相等的共线向量．[解]与BC→长度相等的共线向量有：CB→，OD→，DO→，AO→，OA→，FE→，EF→.3．在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？[解]由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，∴△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．1．向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，注意向量与数量的区别与联系．2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.当堂达标固双基1．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤D[由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.]2．汽车以120km/h的速度向西走了2h，摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对C[速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是．④⑥[由向量的相关概念可知④⑥正确．]4．如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与DA→平行的向量；(2)写出与DA→模相等的向量．[解]由题图可知，(1)与DA→平行的向量有：AD→，BC→，CB→；(2)与DA→模相等的向量有：AD→，BC→，CB→，AB→，BA→，DC→，CD→，BD→，DB→.