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第二章平面向量§2从位移的合成到向量的加法2.2向量的减法自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．知道向量减法的定义，理解相反向量的意义．2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量.1．相反向量(1)定义：与a____________________的向量，叫作a的相反向量，记作－a.(2)性质：①零向量的相反向量仍是零向量；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；④如果a，b是__________的向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.长度相等、方向相反互为相反2．向量的减法向量a加上b的__________，叫作a与b的差，即a－b＝a＋______．求两个向量____的运算，叫作向量的减法．3．向量减法的几何意义已知a，b在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝______，即a－b可以表示为从_______的终点指向____________的终点的向量．(－b)a－b向量b被减向量a相反向量差练一练已知O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用a，b，c表示OD→.解：解法一：如图所示，OD→＝OA→＋AD→＝a＋BC→＝a＋(OC→－OB→)＝a＋c－b.解法二：OD→＝OA→＋AB→＋BC→＋CD→＝OA→＋BC→＋(AB→＋CD→)＝OA→＋BC→＋0＝OA→＋(BO→＋OC→)＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.1．怎样求两个向量的差？答：两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的向量(AC→)，而差向量是另一条对角线所对应的向量(DB→)，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为：共起点，连终点，指向被减．2．向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？答：在▱OACB中，OA→＝a，OB→＝b，则：(1)若|a|＝|b|，则▱OACB为菱形．(2)若|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB为矩形．(3)若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB为正方形．典例精析规律总结课堂互动探究1向量减法的几何作图类型如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.【解】解法一：如图①，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接BC，则CB→＝b－c.过点A作AD═∥BC，则AD→＝b－c.则OD→＝OA→＋AD→＝a＋b－c.解法二：如图②，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，则CB→＝a＋b－c.解法三：如图③，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，作CB→＝c，则OC→＝a＋b－c.【方法总结】向量减法的实质是加法的逆运算，利用相反向量的定义就可以把减法化为加法．在用三角形法则进行向量的减法运算时，只要记住：连接两向量终点，箭头指向被减向量即可．如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，若OA→＝a，OE→＝b，用向量a，b表示向量OB→，OC→和OD→.解：解法一：在▱OAFE中，OF为对角线，且OA，OF，OE始点相同，应用平行四边形法则，得OF→＝OA→＋OE→＝a＋b.∵OC→＝－OF→，∴OC→＝－a－b.而OB→＝－OE→＝－b，OD→＝－OA→＝－a，∴OB→＝－b，OC→＝－a－b，OD→＝－a.解法二：由正六边形的几何性质，得OD→＝－a，OB→＝－b，BC→＝－OA→＝－a.在△OBC中，OC→＝OB→＋BC→＝－a－b.解法三：由正六边形的几何性质，得OB→＝－b，OD→＝－a.在▱OBCD中，OC→＝OB→＋OD→＝－a－b.2向量的加、减法的混合运算类型化简：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)．【解】解法一：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0.解法二：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0.解法三：设O为平面内任意一点，则有(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(OB→－OA→)－(OD→－OC→)－(OC→－OA→)＋(OD→－OB→)＝OB→－OA→－OD→＋OC→－OC→＋OA→＋OD→－OB→＝0.【方法总结】解决这类题目要注意方法统一，如都将减法转化为加法来运算；其次应注意向量加法交换律和结合律的灵活运用．其中解法三为我们提供了一种不需要平移，就能将平面内的任一向量转化为以一确定点为起点的向量的方法，从而使问题转化成有共同起点的向量问题．这种方法以后经常会用到，必须熟练掌握．化简：AB→＋OA→－OB→＝()A．0B．BA→C．2AB→D．－2AB→解析：解法一：原式＝AB→＋(OA→－OB→)＝AB→＋BA→＝0.解法二：AB→＋OA→－OB→＝AB→＋BO→＋OA→＝AB→＋BA→＝0.答案：A3向量加、减法几何意义的应用类型如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，用向量a、b表示AC→、DB→，并回答下面几个问题．(1)当a、b满足什么条件时，AC⊥BD?(2)当▱ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?(3)a＋b与a－b有可能是相等向量吗？【解】∵AB→＝a，AD→＝b，∴AC→＝a＋b，DB→＝a－b.(1)当|a|＝|b|时，▱ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故此时有AC⊥BD.(2)当▱ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b|＝|a－b|.(3)不可能．因为对角线AC→与DB→不可能平行，所以a＋b与a－b不可能共线，自然也不可能是相等向量．【方法总结】此类问题要借助图形，正确应用向量加减的几何意义，把向量的相等、平行、模的关系转化成四边形边的关系，结合初中所学的定理证明．设平面内四边形ABCD及任一点O，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状．解：由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，即OA→－OB→＝OD→－OC→，∴BA→＝CD→，于是AB═∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵|a－b|＝|a－d|，从而|OA→－OB→|＝|OA→－OD→|，∴|BA→|＝|DA→|，∴四边形ABCD为菱形．在下列命题中，真命题共有()①若a＋b与a－b是共线向量，则a与b也是共线向量；②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量；③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b是共线向量；④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，则b与任何向量都共线．A．1个B．2个C．3个D．4个【错解】D【错因分析】对向量共线把握不准，特殊情况考虑不周．【正解】若a与b不共线，则a＋b与a－b是平行四边形的两条对角线，它们不会共线，①正确；由向量减法的几何意义可知②③正确；④中，由条件知a，b至少有一个为0，但未必b＝0，④不正确．【答案】C即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一向量的加减运算1．给出下面四个命题：①AB→＋BA→＝0；②AB→＋BC→＝AC→；③AB－AC→＝BC→；④0＋AB→＝0.其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①②正确．答案：B2．下列四式中不能化简为AD→的是()A．(AB→＋CD→)＋BC→B．(AD→＋MB→)＋(BC→＋CM→)C．OC→－OA→＋CD→D．MB→＋AD→－BM→解析：A项原式＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→；B项原式＝AD→＋(MB→＋BC→＋CM→)＝AD→＋0＝AD→；C项原式＝AC→＋CD→＝AD→.只有D不能化成AD→.答案：D3．若A、B、C、D是平面上任意不重合的四点，则下列各式中正确的是()A．AB→＋CD→＝BC→＋AD→B．AB→－CD→＝BC→－AD→C．AC→＋BD→＝BC→＋AD→D．AC→－BD→＝BC→－AD→解析：∵AC→－BC→＝AC→＋CB→＝AB→，AD→－BD→＝AD→＋DB→＝AB→，∴AC→－BC→＝AD→－BD→，∴AC→＋BD→＝BC→＋AD→，故选C．答案：C知识点二向量加、减法几何意义的应用4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝5，则|a－b|＝________.解析：根据平行四边形法则，∵(5)2＝12＋22，∴平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝5.答案：55．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，判断△ABC的形状．解：∵OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，|OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，∴以AB→、AC→为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．