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第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量1.1位移、速度和力1.2向量的概念自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景．2．理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.1．向量及其表示(1)向量的定义既有______又有______的量．如位移、速度、力、动量等．(2)有向线段具有______和______的线段叫作有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作_____.线段AB的______也叫作有向线段AB→的长度，记作|AB→|，|AB→|表示向量AB→的大小，即长度(也称模)．AB→大小方向方向长度长度(3)向量的表示①几何表示：向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的______，箭头所指的方向表示向量的______．②字母表示：通常印刷体用单个黑体的小写英文字母表示，如a，b，c，…，而手写体用带箭头的小写字母表示，如a→、b→、c→、…；还可用两个大写英文字母表示，始点在前，终点在后，字母上面要带箭头．大小方向2．与向量有关的概念向量定义记法零向量长度为____的向量称为零向量0单位向量长度为________的向量叫作单位向量，与向量a________的单位向量叫作______的单位向量a0相等向量______相等且______相同的向量，叫作相等向量向量a与b相等，记作______a方向上零单位1同方向长度方向a＝b向量定义记法共线向量(平行向量)如果表示两个向量的有向线段所在的直线____________，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量______a与b平行或共线，记作______a∥b平行或重合平行练一练如图，△ABC和△A1B1C1是在各边的13处相交的两个全等的正三角形，设正△ABC的边长为1，图中列出了长度均为13的若干个向量，则：(1)与向量GH→相等的向量有________．(2)与向量GH→平行的向量有________．(3)与向量EA→共线的向量有________．答案：(1)LB1→、HC→(2)GB→、HC→、EC1→、LE→、LB1→(3)EF→、FB→、HA1→、HK→、KB1→1．有向线段与向量的区别是什么？答：在用有向线段表示向量时，要认识到有向线段的起点的选取是任意的，不要误以为向量也是由起点、大小和方向三个要素决定的．即研究向量问题应具有“平移”意识——长度相等，方向相同的向量都是相等向量．2．向量与数量的区别是什么？答：向量不同于数量，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性且不能比较大小．3．学习共线向量应注意什么？答：共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．共线向量的定义中指的是非零向量的共线问题，0的方向具有任意性，与任一向量共线．典例精析规律总结课堂互动探究1向量的有关概念类型判断下列各命题的真假：(1)向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；(2)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数是()A．2B．3C．4D．5【解析】(1)真命题．(2)假命题．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．(3)真命题．(4)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．(5)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．(6)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．故选C．【答案】C【方法总结】向量是数与形的完美结合，因此在判断与向量有关的命题时，既要立足于向量的数(即大小)，又要考虑其形(即方向)．零向量是特殊向量，在判断共线向量问题时要注意其特殊性．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB→＝DC→，则ABCD是平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确的命题个数为()A．2B．3C．4D．5解析：两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了，因此⑥也不正确．答案：C2向量的表示类型一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．(1)试作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.【解】(1)建立如图所示的直角坐标系，向量AB→，BC→，CD→即为所求．(2)根据题意，向量AB→与CD→方向相反，故向量AB→∥CD→.又|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB═∥CD，四边形ABCD为平行四边形，∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝400(海里)．【方法总结】正确画出图形是解决本题的关键，准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小，利用三角知识解答．在直角坐标系中，画出下列向量．(1)|OA→|＝2，OA→的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；(2)|OB→|＝4，OB→的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；(3)|OC→|＝42，OC→的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴正方向的夹角为135°.解：(1)如图①所示；(2)如图②所示；(3)如图③所示．3相等向量和共线向量类型如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.(1)与a的模相等的向量有多少？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．【解】(1)与a的模相等的向量有23个．(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.(3)与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.(4)与a相等的向量有EF→，DO→，CB→，与b相等的向量有DC→，EO→，FA→，与c相等的向量有FO→，ED→，AB→.【方法总结】向量的模是用向量的长度来定义的，共线向量是用向量的方向来定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，要弄清这三个概念的联系与区别．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，(1)图中与AB→共线的向量有________．(2)图中与AB→相等的向量有________．(3)图中与AB→模相等的向量有________．(4)图中与EC→相等的向量有________．答案：(1)CD→、BE→、AE→、EB→、EA→、DC→、BA→(2)DC→、BE→(3)AD→、DA→、CD→、DC→、BC→、CB→、BE→、EB→、BA→(4)BD→下列说法正确的是()A．AB→∥CD→就是AB→所在的直线平行于CD→所在的直线B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量的长度等于0D．共线向量是在同一条直线上的向量【错解】A，B或D【错因分析】对向量的概念把握不准．【正解】AB→∥CD→包含AB→所在的直线与CD→所在的直线平行和重合两种情况，故选项A错误；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故选项B错误；共线向量可以是在同一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选项D错误．【答案】C即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一向量的有关概念1．如图，在⊙O中，向量OB→、OC→、AO→是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量答案：C2．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等且方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是()A．CAB．A∩B＝{a}C．CBD．A∩B{a}解析：A∩B中包含向量a，还包含与a方向相反的向量－a，因此A∩B＝{a}是错误的．答案：B知识点二向量的表示3．如图所示，四边形RSPQ是菱形，下列可以用同一有向线段表示的两个向量是()A．SP→和QR→B．SR→和PQ→C．SR→和QR→D．SR→和SP→答案：B4．如图△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则(1)在图中与DE→相等的向量有________；(2)在图中与DE→共线的向量有________．答案：(1)BF→，FC→(2)ED→，BF→，FC→，FB→，CF→，BC→，CB→知识点三共线向量5．下列结论中，正确结论的序号是________．①向量AB→，CD→共线与向量AB→∥CD→意义相同；②若AB→＝CD→，则AB→∥CD→；③若AB→＝CD→，则BA→＝DC→；④若向量a∥b，b∥c，则a∥c；⑤若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b.解析：①②③正确；④不正确，当b＝0时，a与c不一定平行；⑤不正确，模相等，不一定向量相等．答案：①②③