2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3.3 直线与圆的位置关系课件 新人教

第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系学习目标核心素养1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点)2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点)3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点)1．通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养．2．通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养.自主预习探新知直线与圆的位置关系的判定位置关系相交相切相离公共点个数__个__个__个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d__rd__rd__r210＜＝＞判定方法代数法：由Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ__0Δ__0Δ__0图形＞＝＜1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断B[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝|－5|32＋42＝1，又圆x2＋y2＝1的半径r＝1，∴d＝r，故直线与圆相切．]2．设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是()A．±1B．±12C．±33D．±3C[设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.又l与圆相切，∴|2k|1＋k2＝1.∴k＝±33.]3．直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．46C[圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋5＝0的距离d＝|1＋2×2－5＋5|12＋22＝1，所以弦长为25－12＝4.]4．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________．m＜－2或m＞2[因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，所以|－m|12＋12＞2，解得m＜－2或m＞2.]合作探究提素养直线与圆位置关系的判定【例1】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[思路探究]可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ＜0，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.当d＜2，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d＞2，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆的位置关系的判断方法1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．1．已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切；(3)直线与圆有两个公共点．[解](1)因为直线平分圆，所以圆心(1,1)在直线y＝x＋m上，故有m＝0.(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以d＝|1－1＋m|12＋12＝|m|2＝2，m＝±22，即m＝±22时，直线l与圆相切．(3)直线与圆有两公共点，d＜r，即|m|2＜2，所以－22＜m＜22时有两个公共点．直线与圆相切的有关问题【例2】过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．[思路探究]利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程．[解]因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－158.所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.过一点的圆的切线方程的求法1．点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.2．点在圆外时(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．2．求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．[解]由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴|－k－7|k2＋1＝5，解得k＝43或k＝－34.∴所求切线方程为y＋7＝43(x－1)或y＋7＝－34(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.圆的弦长问题[探究问题]1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示]将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝x2－x12＋y2－y12求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？[提示]通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2r2－d2.【例3】直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为45，求l的方程．[思路探究]设出点斜式方程，利用r、弦心距及弦长的一半构成三角形可求．[解]据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，法一：联立方程组y－5＝kx－5，x2＋y2＝25.消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)0，解得k＞0.又x1＋x2＝－10k1－kk2＋1，x1x2＝25kk－2k2＋1，由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k2100k21－k2k2＋12－4·25kk－2k2＋1＝45.两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝12或k＝2符合题意．故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝12|AB|＝12×45＝25，则|OH|＝|OA|2－|AH|2＝5.∴|51－k|k2＋1＝5，解得k＝12或k＝2.∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.1．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为22，则此圆的方程为________．(x－2)2＋(y＋1)2＝4.[圆心到直线的距离d＝|2＋1－1|2＝2，由于弦长距d、半径r及弦长的一半构成直角三角形，所以r2＝d2＋(2)2＝4，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4.]2．经过点P(2，－1)且被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l方程．[解]圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25.圆心C(3,1)．所以点P在圆内．当CP⊥l时，弦长最短．又kCP＝1＋13－2＝2.所以kl＝－12，所以直线l的方程为y＋1＝－12(x－2)，即x＋2y＝0.直线与圆相交时弦长的两种求法1．几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2，则|AB|＝2r2－d2.图1图22．代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)．1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)直线与圆位置关系的判断方法．(2)求圆的切线的方法．(3)求直线与圆相交时弦长的方法．3．本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切．()[答案](1)√(2)√2．已知直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在B[由题意知，|c|a2＋b2＝1，∴a2＋b2＝c2，因此三角形为直角三角形．]3．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线段的长是________．1[点P到原点O的距离为|PO|＝10，∵r＝3，且P在圆外，∴切线段长为10－9＝1.]4．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，求直线l的方程．[解]由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)．又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝|2k－1－2|1＋k2＝12－222＝22.解得k＝1或177.所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝177(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.