2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3 空间直角坐标系 2.3.2 空间两

2．3.2空间两点间的距离预习课本P120～122，思考并完成以下问题1．空间两点之间的距离公式是什么？2．空间中线段的中点坐标是什么？[新知初探]1．空间两点间的距离(1)空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离为P1P2＝.(2)特别地，空间任一点A(x，y，z)到坐标原点O的距离为OA＝.x2－x12＋y2－y12＋z2－z12x2＋y2＋z22．空间两点的中点坐标公式空间中有两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点C的坐标为.x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，点P(2，－4,6)关于A(1,2,－1)轴对称点P′的坐标为(0,8，－8)．()(2)到坐标平面yOz距离等于1的点所在平面的方程为x＝1.()√×2．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为________．答案：53．点P(x，y，z)满足x－12＋y－12＋z＋12＝2，则点P的集合为________．答案：以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面4．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则△ABC的形状为________三角形．答案：直角空间中两点间距离的计算[典例]如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长．[解]以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以Ma2，a2，a2，O′a2，a2，a.因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故Na4，3a4，a，根据空间两点距离公式，可得MN＝a2－a42＋a2－3a42＋a2－a2＝64a.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[活学活用]如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝2，AA1＝2，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求对角线B1D的长．解：由图可知D(0,0,0)，B(2,3,0)，∵BB1＝2，∴B1(2,3,2)，由空间两点间的距离公式得B1D＝22＋32＋22＝17.∴对角线B1D的长为17.空间两点间距离公式的应用[典例]已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求AB取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的AB的长度．[解]由空间两点间的距离公式得AB＝1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2＝14x2－32x＋19＝14x－872＋57当x＝87时，AB有最小值57＝357，此时A87，277，97，B1，227，67.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．[活学活用]1．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．解析：设M(0，a,0)，由已知得MA＝MB，即12＋a2＋22＝12＋－3－a2＋12，解得a＝－1，故M(0，－1，0)．答案：(0，－1,0)2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．证明：由空间两点间的距离公式得AB＝4－12＋2＋22＋3－112＝89，BC＝6－42＋－1－22＋4－32＝14，AC＝6－12＋－1＋22＋4－112＝75，∵AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角.平面向空间的推广[典例]试解释方程(x＋2)2＋(y－6)2＋(z－1)2＝16的几何意义．[解]因为(x＋2)2＋(y－6)2＋(z－1)2＝16，所以x＋22＋y－62＋z－12＝4，即动点(x，y，z)到定点(－2,6,1)的距离等于4.故方程(x＋2)2＋(y－6)2＋(z－1)2＝16表示空间坐标系中在以(－2,6,1)为球心，半径为4的球面的方程．平面向空间的推广(1)平面直角坐标系中方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)表示的图形为圆心为(a，b)，半径为r的圆，推广到空间直角坐标系中方程(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2(r0)表示的图形是球心为(a，b，c)，半径为r的球面，特别地方程x2＋y2＋z2＝r2(r0)表示以原点为球心，r为半径的球面．(2)平面直角坐标系中方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，表示一条直线；推广到空间直角坐标系中方程ax＋by＋cz＋d＝0(a，b，c不同时为0)表示一个平面．[活学活用]空间直角坐标系中A(－2,6,1)，B(2,－4,－3)，动点P到A，B两点距离相等，求P点的坐标(x，y，z)所满足的关系式．指出满足条件的所有的点P构成的图形．解：由题意得PA＝PB，所以x＋22＋y－62＋z－12＝x－22＋y＋42＋z＋32整理得2x－5y－2z＋3＝0，满足条件的所有的点P构成的图形为线段AB的中垂面．