2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3 空间直角坐标系 2.3.1 空间直

2.3空间直角坐标系2．3.1空间直角坐标系预习课本P118～120，思考并完成以下问题1．如何用坐标表示空间任意一点的位置？2．坐标轴上的点有什么坐标特征？坐标平面上的点有什么坐标特征？3．关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标之间有什么关系？[新知初探]1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条，且有相同单位长度的数轴，这样就建立了O­xyz.(2)相关概念：叫做坐标原点，叫做坐标轴．通过的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面．互相垂直空间直角坐标系点Ox轴、y轴、z轴每两条坐标轴xOyyOzzOx2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向的正方向，食指指向的正方向，若中指指向的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间直角坐标系画法：(1)x轴与y轴成，x轴与z轴成，y轴垂直于z轴．(2)y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的12.x轴y轴z轴135°135°4．空间直角坐标系中点的坐标空间一点M的坐标可以用来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．有序实数组(x，y，z)M(x，y，z)[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系的直观图中，坐标轴之间两两夹角为135°(或45°)．()(2)空间直角坐标系的直观图中，坐标轴上单位长相等．()(3)点P(3,1,5)关于xOz平面对称的点的坐标为(3，－1，5)．()××√2．在空间直角坐标系中，点P(－2,4,4)关于x轴的对称点的坐标是________．答案：(－2，－4，－4)3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于yOz平面对称的点的坐标为________．答案：(－3,1,5)4．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(1，2，3)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是_______．答案：(0，2，3)已知点的位置写出它的坐标[典例]在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，D′B′的中点，棱长为1，试建立适当的空间直角坐标系，求E，F点的坐标．[解]建立如图所示空间直角坐标系D­xyz.∵E点在xDy面上的射影为B，B(1,1,0)，竖坐标为12，∴E1，1，12.∵F在xDy面上的射影为BD的中点G，竖坐标为1，∴F12，12，1.(1)空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系．(2)已知点M的位置，求其坐标的方法：过M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定z坐标．[活学活用]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解：取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得O1O⊥平面ABC，BO⊥AC，所以O1O⊥AC，O1O⊥BO，分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12，OB＝32，∵A，B，C均在坐标轴上，∴A0，－12，0，B32，0，0，C0，12，0，点A1与C1在yOz平面内，∴A10，－12，1，C10，12，1，点B1在xOy面内射影为B，且BB1＝1.∴B132，0，1，∴各点的坐标为A0，－12，0，B32，0，0，C0，12，0，A10，－12，1，B132，0，1，C10，12，1.空间中点的对称问题[典例]分别求点P(1,2,3)关于下列条件的对称点的坐标．(1)坐标平面xOy；(2)z轴；(3)原点O.[解](1)设点P关于坐标平面xOy的对称点为P1，连结PP1交坐标平面xOy于Q，则PP1垂直于坐标平面xOy，且PQ＝P1Q，∴P1在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合，P1在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，∴P1与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为P1(1,2，－3)．(2)同理点P(1,2,3)关于z轴的对称点的坐标P2(－1，－2,3)．(3)同理点P(1,2,3)关于原点O的对称点的坐标P3(－1，－2，－3)．(1)求空间直角坐标系中的点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标．(2)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：其中关于坐标轴和坐标平面的对称，其口诀为“关于谁对称，谁不变，其余量相反”．[活学活用]在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影(正投影)为M′，则M′关于原点的对称点是________．解析：点M在xOz平面上的射影M′(－2,0，－3)，则M′关于原点的对称点坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)