2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离课件 新人教B版

第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.4点到直线的距离学习目标核心素养1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(重点)2．会求两条平行直线的距离．(重点)3．点到直线的距离公式的推导．(难点)1.通过点到直线的距离公式的推导，培养逻辑推理的数学核心素养．2．借助点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，提升数学运算的核心素养.自主预习探新知1．点到直线的距离(1)概念过一点向直线作垂线，则该点与____之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.垂足|Ax0＋By0＋C|A2＋B22．两平行线间的距离公式(1)概念夹在两条平行直线间的________的长度就是两条平行直线间的距离．(2)求法两条平行直线间的距离转化为__到____的距离．(3)公式两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.公垂线段点直线|C1－C2|A2＋B21．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是()A．2B．3C．2D.5D[由点到直线的距离公式得d＝|0＋0－5|12＋22＝5.]2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于()A．522B．22C．52D．2A[由两平行线间的距离公式可得d＝|2－－3|12＋12＝52＝522.]3．已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于()A．3B．－3C．－33D．3或－33D[由点到直线的距离公式得|3＋3m－4|12＋32＝1，解得m＝3或－33.]4．两直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距离等于()A．3B．7C．110D．12C[直线6x＋8y－5＝0化为3x＋4y－52＝0.故两直线平行，且两直线间的距离为：d＝－2＋5232＋42＝125＝110.]合作探究提素养点到直线的距离【例1】求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于22的直线方程．[解]因为所求直线过点A(－1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又因为原点到直线的距离等于22，所以|k＋2|k2＋－12＝22，解得k＝－7或k＝－1.故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.点到直线的距离的求解方法1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.3．若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．1．求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4.[解](1)直线y＝34x＋14化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3×3－4×－2＋1|32＋－42＝185.(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.两条平行线间的距离【例2】直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．[思路探究]先设出l1、l2的方程，利用两条平行线间的距离公式求解，但注意直线斜率的讨论．[解]当l1，l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件．当l1、l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得|1－－5k|k2＋－12＝5，解得k＝125.此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.求两平行线间距离一般有两种方法1．转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．2．公式法：直接用公式d＝|C1－C2|A2＋B2，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．2．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于55的直线方程为()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0D[根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d＝|c－1|22＋12＝55，解得c＝0或c＝2.故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.]距离公式的综合应用[探究问题]1．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？[提示]如图，显然有0d≤|AB|.而|AB|＝6＋32＋2＋12＝310.故所求的d的变化范围为(0,310]．2．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．[提示]由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝2－－16－－3＝13，∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.【例3】在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．[思路探究]点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题．[解]如图所示，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即3·b－4a＝－1.所以a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，所以3×a2－b＋42－1＝0.即3a－b－6＝0，②解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3,3)．于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，即2x＋y－9＝0.所以由3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，解得x＝2，y＝5.即直线l与AB′的交点坐标为(2,5)．所以点P(2,5)为所求．在本例中，求到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小的P点的坐标？[解]如图所示，设点C关于直线l的对称点为C′，求出点C′的坐标为35，245.所以AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l的交点坐标为117，267.故P点坐标为117，267为所求．求最值问题的处理思路1．利用对称转化为两点之间的距离问题．2．利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．3．利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题．1．本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)点到直线的距离的求解方法，(2)求两平行直线间的距离有两种思路，(3)待定系数法求解有关距离问题的方法．3．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用．()(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.()(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为|m－2n|2.()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](1)正确．(2)应是d＝|y0－b|.(3)正确．2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A．322B．22C．32D．12A[d＝|1＋1＋1|12＋－12＝322.]3．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．5[d＝|3－(－2)|＝5.]4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．[解]∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离公式得|b－6|52＋－122＝3，解得b＝45或b＝－33.∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.