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2．1.4两条直线的交点预习课本P93～95，思考并完成以下问题1．在平面直角坐标系内，如何根据两条直线的方程判定两条直线的位置关系？2．如何求相交的两条直线的交点的坐标？[新知初探]1．两直线的交点设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．公共解2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解交点个数直线的位置关系无解个有唯一解个有无数组解个0平行1无数相交重合[点睛]过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0.l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包括直线l2).[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线相交，则这两条直线的斜率一定不相等．()(2)若两条直线有公共点，则这两条直线一定相交．()××2．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是________．答案：43，133．直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．答案：234．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0(a∈R)始终经过一个定点，则该定点的坐标为________．答案：(1,1)两直线的位置关系及交点问题[典例]分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0.(2)l1：x＋3y－1＝0，l2：2x＋6y－2＝0.(3)l1：6x－2y＋3＝0，l2：3x－y＋2＝0.[解](1)解方程组2x＋y＋3＝0，x－2y－1＝0，解得x＝－1，y＝－1，所以交点坐标为(－1，－1)，所以l1与l2相交．(2)解方程组x＋3y－1＝0，①2x＋6y－2＝0，②①×2得2x＋6y－2＝0.所以①与②表示同一直线，故l1与l2重合．(3)解方程组6x－2y＋3＝0，①3x－y＋2＝0，②②×2－①得1＝0，矛盾，方程组无解，故两直线无公共点，l1与l2平行．两条直线相交的判定方法(1)代数法，即解两条直线方程组成的方程组，若只有一解则相交；若有无数解则重合；若无解则平行．(2)利用斜率判断，即若k1≠k2，则l1与l2相交．特别的，当一直线斜率不存在，另一直线斜率存在两直线也相交．(3)利用系数比判断，即直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若A1B2－A2B1≠0，则l1与l2相交．[活学活用]已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋y－3＝0，求：(1)直线l1与l2的交点P的坐标；(2)过点P且与l1垂直的直线方程．解：(1)解方程组3x－y－1＝0，x＋y－3＝0，得x＝1，y＝2.∴交点P(1,2)．(2)l1的斜率为3，故由点斜式方程得过点P且与l1垂直的直线方程为y－2＝－13(x－1)，即x＋3y－7＝0.过两直线交点的直线方程问题[典例]求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．[解]法一：解方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得P(0,2)．∵k3＝34，且l⊥l3，∴kl＝－43.由斜截式可知l的方程为y＝－43x＋2，即4x＋3y－6＝0.法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.求经过两条直线的交点的直线方程的方法(1)先通过方程组求出两直线交点，再根据其他条件求出直线的方程；(2)利用过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据其他条件求出待定系数即可．[活学活用]求经过直线l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y－3＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程．解：法一：由2x＋3y－5＝0，3x－2y－3＝0，得x＝1913，y＝913，即l1，l2的交点坐标为1913，913.再设与直线2x＋y－3＝0平行的直线方程为2x＋y＋c＝0，将交点坐标代入得c＝－4713，所以该直线方程为2x＋y－4713＝0，整理得26x＋13y－47＝0.法二：因为所求直线经过直线l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y－3＝0的交点，故可设所求直线方程为2x＋3y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.整理得(2＋3λ)x＋(3－2λ)y－5－3λ＝0.(*)因为所求直线平行于直线2x＋y－3＝0，故2＋3λ2＝3－2λ1，解得λ＝47，代入(*)式，得267x＋137y－477＝0.化简得26x＋13y－47＝0.直线经过定点问题[典例]判定下列直线l：(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋(λ－3)＝0是否过定点，并求出λ为何值时，原点到这条动直线的距离最大．[解]直线l的方程可以化为λ(x－2y＋1)＋(2x＋y－3)＝0，解方程组x－2y＋1＝0，2x＋y－3＝0，得定点坐标为P(1,1)．当直线l垂直于OP时，原点到这条动直线的距离最大；此时kOP＝1，所以kl＝－1，即－2＋λ1－2λ＝－1，所以λ＝－13.直线经过定点问题的三种求法(1)特值法：对直线系中的参数赋值，可得直线系中的不同直线，联立其中两条便可求出其交点坐标，该坐标即为所求定点．(用于客观题)(2)恒等式法：该类问题可转化为关于参数的恒等式问题，根据恒等式的性质，由参数的系数和常数项均为零，就可以求得该定点坐标．(3)直线系方程法：先按照参数整理，看成经过两条直线的交点的直线系方程，解出交点坐标即可．[活学活用]当0＜a＜2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，求使四边形面积最小时a的值．解：如图，直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，∴过定点B(2,2)．直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，由2x－4＝0和y－2＝0得l2也过定点B(2,2)．∵l1与y轴交于点A(0,2－a)，l2与x轴交于点C(a2＋2,0)．∴S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝12(2－a)×2＋12×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝a－122＋154.∴当a＝12时，S取最小值154.即四边形OABC面积最小时，a的值为12.