2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.2 直线的方程

第三课时直线的一般式方程预习课本P85～87，思考并完成以下问题1．直线的方程与二元一次方程有什么关系？2．五种形式的直线方程都可以相互转化么？3．如何选择直线的方程的形式求直线的方程？[新知初探]1．直线与二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．②在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)都表示．Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)一条直线2．直线的一般式方程关于x，y的二元一次方程，叫做直线的一般式方程．Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)[点睛]对于关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，其中A，B不同时为0.①若B≠0，则该方程可化为直线的斜截式方程y＝－ABx－CB.②若B＝0，则该方程可化为与y轴平行或重合的直线方程x＝－CA.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线x－3y－1＝0在x轴上的截距是1.()(2)直线x＋y＋2＝0与坐标轴围成的三角形的面积为4.()(3)经过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x＋y－2＝0.()(4)过原点的直线的截距式方程不存在．()√××√2．直线x－3y－1＝0在y轴上的截距是()A．－13B．13C．1D．－1答案：A3．直线x－ky－m＝0(k0，m0)一定不经过第______象限．答案：四4．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是________．答案：2或－12求直线的一般式方程[典例]根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A(2,3)；[解]由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝3(x－2)，化为一般式为3x－y＋3－23＝0.(2)斜率为4，在y轴上的截距为－1；[解]由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－1，化为一般式为4x－y－1＝0.(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；[解]由两点式方程可知，所求直线方程为：y－5－1－5＝x－－12－－1.化为一般式方程为2x＋y－3＝0.(4)在x，y轴上的截距分别是3，－1.[解]由截距式方程可得，所求直线方程为x3＋y－1＝1，化成一般式方程为x－3y－3＝0.(1)求直线的一般式方程，通常是根据题干条件选用点斜式、斜截式、两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．(2)若一般式Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)用待定系数法求解并不简单，两个独立的条件，①若A，B均不为零时，求出A，B，C之间的倍数关系，再化简方程即可，②若A，B恰好一个为零，求出另外两个系数的倍数关系，再化简方程即可．(3)经过定点(x0,y0)的直线的一般式方程可以设为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A，B不同时为0).[活学活用]设直线l经过点(2,4)，且l在两坐标轴上截距相等，求l的一般式方程．解：法一：由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设其方程为y－4＝k(x－2)，令x＝0，则y＝4－2k，令y＝0，x＝2－4k，因为l在两坐标轴上截距相等，所以2－4k＝4－2k，解得k＝－1或2，所以所求直线的方程为y－4＝－1(x－2)或y－4＝2(x－2)，所求直线的一般式方程为x＋y－6＝0或2x－y＝0.法二：设直线l的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，则由题意得A，B全不为0，直线l经过点(2,4)，所以2A＋4B＋C＝0①在Ax＋By＋C＝0中，令x＝0，则y＝－CB，令y＝0，则x＝－CA，因为l在两坐标轴上截距相等，所以－CB＝－CA，解得A＝B≠0或C＝0，结合①得：A＝B≠0，A＝B＝－C6或C＝0，A＝－2B.设直线l的一般式方程为－C6x＋－C6y＋C＝0，或－2Bx＋By＝0，即x＋y－6＝0或2x－y＝0.法三：设直线l的方程为A(x－2)＋B(y－4)＝0(其中A，B不全为0)，则由题意得A，B全不为0，令x＝0则y＝2A＋4BB；令y＝0则x＝2A＋4BA.因为l在两坐标轴上截距相等，所以2A＋4BA＝2A＋4BB，所以A＝－2B或A＝B，直线l的方程为－2B(x－2)＋B(y－4)＝0或B(x－2)＋B(y－4)＝0，即直线l的一般式方程为x＋y－6＝0或2x－y＝0.直线的一般式方程与其他形式的方程互化[典例]设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6.根据下列条件确定m的值：(1)直线l在x轴上的截距为－3；[解]要满足l在x轴上的截距为－3，需有m2－2m－3≠0，2m－6m2－2m－3＝－3，解得m＝－53.(2)直线l的斜率是－1.[解]要满足直线l的斜率为－1，需有2m2＋m－1≠0，－m2－2m－32m2＋m－1＝－1，解得m＝－2.直线方程的一般式和其他形式互化由直线的一般式方程向其他形式转化时，要注意其中的字母系数是否为零；由于截距可以为零，原点不属于任何象限，所以求解与截距有关问题时一定要展开讨论，截距都为零；否则将出现漏解．[活学活用]已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当直线l1与直线l2的斜率相等，且l1与l2不重合时，求m的值．解：由题设l2的方程可化为y＝－m－23x－23m，则其斜率k2＝－m－23，在y轴上的截距b2＝－23m.∵l1与l2斜率相等，但不重合，∴l1的斜率一定存在，即m≠0.∴l1的方程为y＝－1mx－6m.∴－m－23＝－1m，－23m≠－6m，解得m＝－1.∴m的值为－1.直线方程的综合应用[典例]设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；[解]由题意知a＋1≠0，即a≠－1.当直线过原点时，该直线在两坐标轴上截距都为零，此时a＝2，即方程为3x＋y＝0；当a≠2时，化方程为截距式：xa－2a＋1＋ya－2＝1.∵截距存在且均不为0，∴a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[解]将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∵直线不过第二象限，∴－a＋1≥0，a－2≤0.∴a≤－1.即a的取值范围是[－∞，－1]．直线方程形式的选择技巧一般地，已知一点通常选择点斜式，已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式，另外从所求结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式，但最后都可化为一般式．[活学活用]已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；解：(1)证明：将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，所以l的斜率为a，且过定点A15，35，而点A15，35在第一象限，故不论a为何值，直线l总经过第一象限．(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．解：直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3.∵l不经过第二象限，∴a≥3.故a的取值范围为[3，＋∞)．