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2.1直线与方程2．1.1直线的斜率预习课本P77～79，思考并完成以下问题1．直线的倾斜角是如何定义的？2．直线的斜率与直线的倾斜角有什么关系？[新知初探]1．已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(1)若x1＝x2，则直线PQ的斜率．(2)若x1≠x2，则直线PQ的斜率k＝y2－y1x2－x1，还可以看作是k＝纵坐标的增量横坐标的增量＝ΔyΔx.不存在[点睛]①直线的斜率与两点在直线上的位置和顺序无关；②对于一条与x轴不垂直的定直线而言，它的斜率是一个定值．2．直线的倾斜角的概念(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转过的称为这条直线的倾斜角．规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为.(2)倾斜角α的范围是.逆时针最小正角0°0°≤α＜180°[点睛]①直线的倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程度的量，直线的倾斜角侧重于直观形象，表现了直线相对x轴正方向的倾斜程度．直线的斜率侧重于数量关系；②任意直线都有唯一的倾斜角，但与x轴垂直的直线的斜率不存在．3．斜率与倾斜角的关系(1)从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l的斜率k＝.tanα(2)从几何图形上看：直线情形α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的变化增函数增函数k的大小0k＝tanα不存在k＝tanα＝－tan(180°－α)k的范围0k＞0不存在k＜0[点睛]已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围时注意图象的应用：当k＝tanα，α∈0，π2∪π2，π时的图象如图．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，任意直线都有斜率．()(2)如果直线的倾斜角为135°，那么直线的斜率为－1.()(3)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(4)倾斜角越大，斜率越大．()×√××2．若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m的值为()A．－2B．－15C．2D．15答案：A3．若直线的倾斜角α的取值范围是π6，π3，则该直线的斜率的取值范围是________．答案：33，3求直线的倾斜角[典例]图中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．[解]设直线l的倾斜角为β，结合倾斜角的定义可知，图①中α是直线l的倾斜角，即β＝α.图②中α不是直线l的倾斜角，但α与β互补，即有β＝180°－α.图③中α不是直线l的倾斜角，但α与β是对顶角，故β＝α.图④中α不是直线l的倾斜角，但β＝90°＋α.直线的倾斜角的概念是解决本题的关键，解决此类问题主要依据倾斜角的定义和范围，对于直线的倾斜角要把握三个条件：x轴正方向、直线向上的方向、小于180°的非负角；结合图形求角时，注意平面几何知识的应用．[活学活用]已知不重合的两条直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2则下列命题中正确的序号为________．(1)若l1，l2平行，则α1＝α2；(2)若l1，l2垂直，则α1－α2＝π2；(3)若l1，l2关于x轴对称，则α1＋α2＝180°.解析：结合图形加以判断，(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)过两点的直线的斜率公式及应用[典例](1)经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在，求其斜率．①P(1,1)，Q(－1，－2)；②P(－2，－3)，Q(－2,3)；③P(2,1)，Q(m,2)．(2)求证：A(－3,5)，B(1,3)，C(5,11)三点共线．[解](1)①kPQ＝－2－1－1－1＝32.②∵x1＝x2，∴斜率不存在．③当m＝2时，斜率不存在；当m≠2时，kPQ＝2－1m－2＝1m－2.(2)证明：∵A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)，∴kAB＝3－－51－－3＝2，kBC＝11－35－1＝2，∴kAB＝kBC，又∵AB∩BC＝B，∴AB，BC在同一条直线上，∴A，B，C三点共线．(1)使用斜率公式k＝y1－y2x1－x2时，要注意前提条件x1≠x2，若x1＝x2，则斜率不存在．当两点的横坐标有字母时，要先讨论横坐标是否相等再解题．(2)利用斜率证明三点A，B，C共线的步骤①计算过任意两点的直线的斜率，如kAB＝kAC；②说明两直线过公共点，即直线重合；③得出结论．[活学活用]1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为()A．23B．32C．－23D．－32解析：斜率k＝0－23－0＝－23.答案：C2．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．解：∵A，B，C三点共线，且3≠－2，∴BC的斜率存在，∴AB的斜率存在，且kAB＝kBC.∵kAB＝7－23－a＝53－a，kBC＝－9a－7－2－3＝9a＋75，∴9a＋75＝53－a，∴25＝27a＋21－9a2－7a，即9a2－20a＋4＝0，解得a＝2或a＝29.直线的倾斜角与斜率的关系[典例]已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．(1)求直线PM与PN的斜率；[解]由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为：kPM＝－3－12－1＝－4，kPN＝－2－1－3－1＝34.(2)求直线l的斜率k的取值范围．[解]如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，又kPN＝34，∴k≥34.又当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，又kPM＝－4，∴k≤－4.综上所述，k∈(－∞，－4]∪34，＋∞.(1)直线的倾斜角与斜率的关系k＝tanα，α∈0，π2∪π2，π，不存在，α＝π2.具体变化规律：①当倾斜角α为0°时，斜率k为0，直线平行于x轴或与x轴重合；②当倾斜角α为锐角时，斜率k为正且随着倾斜角α的增大而增大；③当倾斜角α为90°时，斜率k不存在，直线平行于y轴或与y轴重合；④当倾斜角α为钝角时，斜率k为负且随着倾斜角的增大而增大，其值可以由与之互补的锐角求得．(2)研究直线的斜率的变化规律，通常先研究直线倾斜角的变化情况，再根据它们之间的关系求出斜率的范围．(3)代数式y－y0x－x0的几何意义表示动点P(x，y)与定点Q(x0，y0)连线的斜率．[活学活用]已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解：如图，由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1，kPB＝2－03－1＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.