2019-2020学年高中数学 第2章 空间向量与立体几何 5 5.1 直线间的夹角 5.2 平面间

第二章空间向量与立体几何§5夹角的计算5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角5.3直线与平面的夹角学习目标：1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题．(重点)2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．(难点)自主预习探新知1．直线间的夹角(1)共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在0，π2内的角叫作两直线的夹角，如图所示．(2)异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示．两条异面直线的夹角的范围为________，当夹角为π2时，称这两条直线异面．0，π2垂直(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定．已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.①当0≤〈s1，s2〉≤π2时，直线l1与l2的夹角等于；②当π2〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于．思考：空间两条直线的夹角的范围是多少？[提示]0，π2π－〈s1，s2〉〈s1，s2〉2．平面间的夹角(1)平面间夹角的概念如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．(2)平面间夹角的求法．设平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.①当0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于__________；②当π2＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于___________．事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.π－〈n1，n2〉〈n1，n2〉思考：空间中两个平面的夹角的范围是多少？[提示]0，π23．直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.1.判断正误(1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角相等．()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|.()(3)直线与平面夹角的范围为0，π2.()[答案](1)×(2)×(3)×2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均错A[直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，l1与l2这两条异面直线的夹角等于180°－150°＝30°，选A.]3．若平面α的一个法向量n＝(4，1，1)，直线l的方向向量a＝(－2，－3，3)，则l与α夹角的余弦值为()A．－1111B.1111C．－11011D.91333D[cos〈n，a〉＝－41133，∴l与α夹角的余弦为sin〈n，a〉＝91333.]4．已知平面α的一个法向量为n1＝(2，2，x)，平面β的一个法向量为n2＝(2，x，－2)且平面α，β的夹角为60°，则x＝________．0[由两平面夹角为60°，故它们法向量的夹角为60°或120°，∴n1·n2|n1||n2|＝48＋x2＝±12，∴x＝0.]合作探究提素养直线间的夹角【例1】如图所示，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值.[解]建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，3)，A(3，0，0)，A1(3，1，3)，B(0，2，0)，∴A1B→＝(－3，1，－3)O1A→＝(3，－1，－3)．∴|cos〈A1B→，O1A→〉|＝|A1B→·O1A→||A1B→||O1A→|＝|（－3，1，－3）·（3，－1，－3）|7·7＝17.∴异面直线A1B与AO1夹角的余弦值为17.1．建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键．2．求线线夹角时，应注意线线夹角范围为0，π2，所以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角．1．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC的夹角为60°，试确定此时动点E的位置．[解]以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E(1，t，0)(0≤t≤2)，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，D1A→＝(1，0，－1)，CE→＝(1，t－2，0)，根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝2×1＋（t－2）2·cos60°，所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．直线与平面的夹角【例2】如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．求SN与平面CMN夹角的大小．[解]设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)．则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，又AN＝14AB，M、S分别为PB、BC的中点，∴N12，0，0，M1，0，12，S1，12，0，CM→＝1，－1，12，SN→＝－12，－12，0，NC→＝－12，1，0，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，∴CM→·a＝0，NC→·a＝0.则x－y＋12z＝0，－12x＋y＝0.∴x＝2y，z＝－2y.取y＝1，得a＝(2，1，－2)．因为cos〈a，SN→〉＝－1－123×22＝－22.∴〈a，SN→〉＝34π.所以SN与平面CMN的夹角为34π－π2＝π4.1．本题中直线的方向向量SN→与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角θ，它们的关系是sinθ＝|cos〈SN→，a〉|.2．若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：2．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求BD与平面ADMN的夹角．[解]如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，1，0)，M1，12，1.(1)PB→·DM→＝(2，0，－2)·1，－32，1＝0，∴PB→⊥DM→，即PB⊥DM.(2)∵PB→·AD→＝(2，0，－2)·(0，2，0)＝0，∴PB⊥AD.又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，∴PB⊥平面ADMN.即PB→为平面ADMN的一个法向量．因此〈PB→，DB→〉的余角即是BD与平面ADMN的夹角．∵cos〈PB→，DB→〉＝PB→·DB→|PB→|·|DB→|＝422×22＝12，∴〈PB→，DB→〉＝π3，∴BD与平面ADMN的夹角为π6.平面间的夹角[探究问题]1．两个平面间的夹角是否为这个二面角的平面角？[提示]不一定．当两个平面间的夹角不超过90°时，两个平面间的夹角就是这个二面角的平面角；当两个平面间的夹角大于90°时，两个平面间的夹角就是这个二面角的补角．2．如图，设二面角α­l­β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，如何借助平面的法向量求二面角的平面角？[提示]先计算|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|，再根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ(或其三角函数值).【例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值．[思路探究](1)先证明CC1⊥AC，CC1⊥BD，再证明O1O∥C1C，故O1O⊥底面ABCD.(2)以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，分别求平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量n1，n2.代入公式cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|，求解即可．[解](1)因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，且AC底面ABCD，BD底面ABCD，因此CC1⊥底面ABCD.由题意知，O1O∥C1C，故O1O⊥底面ABCD.(2)因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz.不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝3，OC＝1.于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，B1(3，0，2)，C1(0，1，2)．易知，n1＝(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量．设n2＝(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则n2·OB1→＝0，n2·OC1→＝0，即3x＋2z＝0，y＋2z＝0.取z＝－3，则x＝2，y＝23，所以n2＝(2，23，－3)．设平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角为θ，易知θ是锐角，于是cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n1·n2|n1|·|n2|＝2319＝25719.故平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值为25719.1.(变结论)本例条件不变，求二面角B­A1C­D的余弦值．[解]建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则A1(0，－1，2)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．所以BC→＝(－3，1，0)，A1C→＝(0，2，－2)，CD→＝(－3，－1，0)．设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·A1C→＝0，n1·BC→＝0，即2y1－2z1＝0，－3x1＋y1＝0，取x1＝3，则y1＝z1＝3，故n1＝(3，3，3)．设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·A1C→＝0n2·CD→＝0即2y2－2z2＝0，－3x2－y2＝0，取x2＝3，则y2＝z2＝－3，故n2＝(3，－3，－3)．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－1521＝－57.由图形可知二面角B­A1C­D的大小为钝角，所以二面角B­A1C­D的余弦值为－57.2.(变条件)本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F夹角的余弦值．[解]以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)E1，12，0，D1(0，1，1)F12，1，0，AE→＝1，12，0，AB1→＝(1，0，1)，设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·AB1→＝0，n1·AE→＝0，即x1＋z1＝0，x1＋12y1＝0，令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，所以n1＝(－1，2，1)．设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．则n2·AD1→＝0，n2·AF→＝0，即y2＋z2＝0，12x2＋y2＝0.令x2＝2，则