2019-2020学年高中数学 第2章 空间向量与立体几何 3 3.3 空间向量运算的坐标表示课件

第二章空间向量与立体几何§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点)2.能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难点)自主预习探新知1．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，①a＋b＝，②a－b＝，③λa＝，④a·b＝.a1b1＋a2b2＋a3b3(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a∥b⇔a＝λb⇔(λ∈R)；②a⊥b⇔a·b＝0⇔；③|a|＝a·a＝________________；④cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23.a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a21＋a22＋a23思考：已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，能否用a1b1＝a2b2＝a3b3表示a∥b的条件？为什么？[提示]不能．无法保证b1b2b3≠0，故不能用a1b1＝a2b2＝a3b3表示a∥b的条件．1.判断正误(1)对空间任意的两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a·b0，则〈a，b〉为锐角．()(2)若a＝(x，y，z)，则|a|＝x2＋y2＋z2.()(3)若向量AB→＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)．()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是()A．a＋b＝(10，－5，－6)B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10D．|a|＝6D[a＋b＝(10，－5，－2)，A错误；a－b＝(－2，1，－6)，B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C错误；|a|＝42＋（－2）2＋42＝6，故选D.]3．已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为()A．0°B．45°C．90°D．180°C[∵cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝2－25×6＝0，〈a，b〉∈[0°，180°]．∴〈a，b〉＝90°.]4．已知a＝(1，－2，4)，b＝(－2，4，x)．(1)当a⊥b时，x＝________．(2)当a∥b时，x＝________．(1)52(2)－8[(1)由a·b＝－2－8＋4x＝0，得x＝52.(2)由a∥b得1－2＝－24＝4x解得x＝－8.]合作探究提素养空间向量的坐标运算【例1】已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)，设p＝AB→，q＝CD→.求：(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－2q)·(p＋2q)．[解]因为A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝AB→＝(2，1，3)，q＝CD→＝(2，0，－6)．(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)．(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)．(3)(p－2q)·(p＋2q)＝p2－4q2＝|p|2－4|q|2＝(22＋12＋32)－4(22＋02＋62)＝－146.1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.1．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为()A．2B．－2C．0D．1A[∵c－a＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)．∴2×(1－x)＝－2，∴x＝2.]空间向量平行、垂直的坐标表示【例2】已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)若|c|＝3，c∥BC→.求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.[思路探究]解答本题可先求出a，b，再根据向量平行与垂直的条件列方程求解．[解](1)因为BC→＝(－2，－1，2)，且c∥BC→，所以设c＝λBC→＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝（－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．(2)因为a＝AB→＝(1，1，0)，b＝AC→＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－52.1.(变条件)若将本例(2)条件“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若ka＋b与ka－2b互相平行”，求k的值．[解]由ka＋b与ka－2b互相平行，得ka＋b＝λ(ka－2b)，即(k－1，k，2)＝λ(k＋2，k，－4)，所以k－1＝λ（k＋2），k＝λk，2＝－4λ，解得k＝0.2.(变条件)若将本例(2)条件“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直”，求λ、μ应满足的关系．[解]∵a＋b＝(0，1，2)，a－b＝(2，1，－2)．∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，由[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0，0，1)＝2λ－2μ＝0，得λ－μ＝0，即当λ、μ满足关系式λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直．1．向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题．2．解决这种问题时要注意：①适当引入参数参与运算；②建立关于参数的方程；③准确运算．夹角与距离的计算【例3】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；(3)求证：BN⊥平面C1MN.[解](1)如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|BN→|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3，∴线段BN的长为3.(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴BA1→＝(1，－1，2)，CB1→＝(0，1，2)，∴BA1→·CB1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|BA1→|＝6，|CB1→|＝5.∴cos〈BA1→，CB1→〉＝BA1→·CB1→|BA1→||CB1→|＝3010.故A1B与B1C所成角的余弦值为3010.(3)证明：依题意得A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B(0，1，0)，N(1，0，1)，M12，12，2，∴C1M→＝12，12，0，C1N→＝(1，0，－1)，BN→＝(1，－1，1)，∴C1M→·BN→＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0，C1N→·BN→＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C1M→⊥BN→，C1N→⊥BN→，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，∴BN⊥平面C1MN.在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．3．已知正三棱柱ABC­A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求三棱柱的侧棱长；(2)M为BC1的中点，试用基向量AA1→，AB→，AC→表示向量AM→；(3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．[解析](1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(3，0，b)，B(3，0，0)，C1(0，1，b)，所以AB1→＝(3，1，b)，BC1→＝(－3，1，b)．因为AB1⊥BC1，所以AB1→·BC1→＝(3，1，b)·(－3，1，b)＝－(3)2＋12＋b2＝0，解得b＝2.(2)因为M为BC1的中点，所以AM→＝12(AC1→＋AB→)＝12(AA1→＋AC→＋AB→)．(3)由(1)知AB1→＝(3，1，2)，BC→＝(－3，1，0)，因为|AB1→|＝（3）2＋12＋（2）2＝6，|BC→|＝（－3）2＋12＋02＝2，AB1→·BC→＝(3，1，2)·(－3，1，0)＝－(3)2＋1×1＝－2，所以cos〈AB1→，BC→〉＝|AB1→·BC→||AB1→||BC→|＝|－2|6×2＝66.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为66.当堂达标固双基1．已知a＝(1，2，－3)，b＝(5，－7，8)，则2a＋b的坐标为()A．(7，－3，2)B．(6，－5，5)C．(6，－3，2)D．(11，－12，13)A[2a＋b＝2(1，2，－3)＋(5，－7，8)＝(2，4，－6)＋(5，－7，8)＝(7，－3，2)．]2．已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为()A．3B．4C．5D．6C[∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2.∴x＝5.]3．已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.－39[∵a·b＝2k，|a|＝13，|b|＝k2＋9，∴cos120°＝2k13×k2＋9，∴k＝－39.]4．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则x＝________，y＝________．16－32[因为a与b共线，所以2x1＝1－2y＝39，所以x＝16，y＝－32.]5．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求EF→与CG→所成角的余弦值；(3)求CE的长．[解](1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E0，0，12，C(0，1，0)，F12，12，0，G1，1，12.所以EF→＝12，12，－12，CF→＝12，－12，0，CG→＝1，0，12，CE→＝0，－1，12.因为EF→·CF→＝12×12＋12×－12＋－12×0＝0，所以EF→⊥CF→，即EF⊥CF.(2)因为EF→·CG→＝12×1＋12×0＋－12×12＝14，|EF→|＝122＋122＋－122＝32，|CG→|＝12＋02＋122＝52，所以cos〈EF→，CG→〉＝EF→·CG→|EF→||CG→|＝1432×52＝1515.(3)|CE|＝|CE→|＝02＋（－1）2＋122＝52.