2019-2020学年高中数学 第2章 空间向量与立体几何 3 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标

第二章空间向量与立体几何§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义．(重点)2.掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点)3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．(难点)自主预习探新知1．标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的i，j，k叫作标准正交基．2．标准正交分解设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数组(x，y，z)，使得a＝，则把叫作a的标准正交分解．a＝xi＋yj＋zk单位向量xi＋yj＋zk3．向量的坐标表示在a的标准正交分解中三元有序实数组叫作空间向量a的坐标，叫作向量a的坐标表示．思考：平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？a＝(x，y，z)(x，y，z)[提示](1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a＝(x，0，0)．(2)当向量a平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即a＝(0，y，0)．(3)当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a＝(0，0，z)．(4)当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a＝(x，y，0)．(5)当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即a＝(0，y，z)．(6)当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a＝(x，0，z)．4．向量坐标与投影(1)i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z．把x，y，z分别称为向量a在单位向量i，j，k上的投影．(2)向量的坐标等于它在上的投影．(3)一般地，若b0为b的单位向量，则称为向量a在向量b上的投影．坐标轴正方向a·b0＝|a|cos〈a，b〉5．空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得．思考：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？[提示]空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3不共面1.判断正误(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．()(2)向量AP→的坐标与点P的坐标一致．()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使λ1a1＋λ2a2＋λ3a3＝0.()[答案](1)×(2)×(3)×2．若向量a、b、c是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m、n构成空间的另一个基底的向量是()A．aB．bC．cD．2aC[只有c与m，n不共面，故c，m，n可作一组基底．]3．向量a＝(0，2，3)，则()A．a平行于x轴B．a平行于平面yOzC．a平行于平面zOxD．a平行于平面xOyB[因为a的横坐标为0，所以a平行于平面yOz.]4．若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________．(2，－1，3)[根据空间向量坐标的定义知，a＝(2，－1，3)．]合作探究提素养空间向量的基底【例1】已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3，试判断{OA→，OB→，OC→}能否作为空间的一个基底．[解]假设OA→，OB→，OC→共面．则存在实λ，μ使得OA→＝λOB→＋μOC→，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，∴－3λ＋μ＝1，λ＋μ＝2，2λ－μ＝－1此方程组无解，∴OA→，OB→，OC→不共面，∴{OA→，OB→，OC→}可以作为空间的一个基底．空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．3[如图所设a＝AB→，b＝AA1→，c＝AD→，则x＝AB1→，y＝AD1→，z＝AC→，a＋b＋c＝AC1→.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．]用基底表示向量【例2】如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.(1)AP→；(2)AM→；(3)AN→；(4)AQ→.[解]连接AC，AD′.(1)AP→＝12(AC→＋AA′→)＝12(AB→＋AD→＋AA′→)＝12(a＋b＋c)．(2)AM→＝12(AC→＋AD′→)＝12(a＋2b＋c)＝12a＋b＋12c.(3)AN→＝12(AC′→＋AD′→)＝12[(AB→＋AD→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)]＝12a＋b＋c.(4)AQ→＝AC→＋CQ→＝AC→＋45CA′→＝AC→＋45(AA′→－AC→)＝15AC→＋45AA′→＝15(AB→＋AD→)＋45AA′→＝15a＋15b＋45c.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．2．如图所示，在空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.试用向量a，b，c表示向量GH→.[解]∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，∴OD→＝12(OB→＋OC→)，OH→＝23OD→＝23×12(OB→＋OC→)＝13(b＋c)．又OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋23AD→，AD→＝OD→－OA→，∴OG→＝OA→＋23×12(OB→＋OC→)－23OA→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝13(a＋b＋c)．∵GH→＝OH→－OG→，∴GH→＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a.空间向量的坐标表示[探究问题]1．在不同的基底下，空间任一向量对应的坐标是否相同？[提示]不相同．选取不同的基底所表示的向量对应实数组不同．2．在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么？[提示]关键是利用几何图形特征，尽量寻找三条两两垂直且交于一点的直线，若找不到则应想法构建．【例3】(1)已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，12，10)D．(4，3，2)(2)在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{AB→，AD→，AA′→}为基底，求向量AE→，AG→，AF→的坐标.A[(1)OA→＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．](2)AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋12DD′→＝AD→＋12AA′→＝0，1，12，AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋12AD→＝1，12，0，AF→＝AA′→＋A′D′→＋D′F→＝AA′→＋AD→＋12AB→＝12，1，1.1.(变结论)本例(2)题设条件不变，求向量EF→，EG→，DG→的坐标．[解]EF→＝AF→－AE→＝(AA′→＋AD→＋12AB→)－(AD→＋12AA′→)＝12AA′→＋12AB→＝12，0，12，EG→＝AG→－AE→＝(AB→＋12AD→)－(AD→＋12AA′→)＝AB→－12AD→－12AA′→＝1，－12，－12，DG→＝AG→－AD→＝AB→＋12AD→－AD→＝AB→－12AD→＝1，－12，0.2.(变条件)本例(2)题设条件“以{AB→，AD→，AA′→}为基底”变为“若以{DA→，DC→，DD′→}为基底”，试写出AE→，AG→，EF→的坐标.[解]AE→＝AD→＋DE→＝－DA→＋12DD′→＝－1，0，12，AG→＝AB→＋BG→＝DC→＋(－12DA→)＝－12DA→＋DC→＝－12，1，0，EF→＝12DD′→＋12DC→＝0，12，12.用坐标表示空间向量的步骤当堂达标固双基1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA→＋OB→＋OC→，向量b＝OA→＋OB→－OC→，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.OA→B.OB→C.OC→D.OA→或OB→C[∵OC→＝12a－12b且a，b不共线，∴a，b，OC→共面，∴OC→与a，b不能构成一组空间基底．]2．已知正方体OABC－O′A′B′C′的棱长为1，若以OA→，OC→，OO′→为基底，则向量OB′→的坐标是()A．(1，1，1)B．(1，0，1)C．(－1，－1，－1)D．(－1，0，1)A[由于OB′→＝OA→＋OC→＋OO′→，所以OB′→＝(1，1，1)．]3．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AM→＝12MC→，A1N→＝2ND→.设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝cMN→＝________(用a，b，c表示)．－13a＋13b＋13c[如图所示，连接AN，则MN→＝AN→－AM→＝AA1→＋A1N→－13AC→＝AA1→＋23A1D→－13(AB→＋BC→)＝AA1→＋23(AD→－AA1→)－13(AB→＋AD→)＝c＋23(b－c)－13(a＋b)＝－13a＋13b＋13c.]4．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3，7)[由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3，7)．]5．如图所示，在棱长为1的正方体OABC­O1A1B1C1中，M，N分别是面OAA1O1和面O1A1B1C1的中心．(1)试用基底OA→，OC→，OO1→表示MN→；(2)试建立适当的空间直角坐标系，并求向量OM→，ON→，MN→的坐标．[解](1)OM→＝12(OA→＋OO1→)，ON→＝OO1→＋O1N→＝OO1→＋12(O1A1→＋O1C1→)＝OO1→＋12(OA→＋OC→)，∴MN→＝ON→－OM→＝OO1→＋12OA→＋12OC→－12OA→－12OO1→＝12OO1→＋12OC→.(2)如图在空间直角坐标系O­xyz中，OA→＝i，OC→＝j，OO1→＝k，则OM→＝12i＋12k＝12，0，12.ON→＝12i＋12j＋k＝12，12，1.∴MN→＝ON→－OM→＝12i＋12j＋k－12i＋12k＝0，12，12.