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第二章空间向量与立体几何§2空间向量的运算学习目标：1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．(重点)2.会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题．(难点)3.能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积．(重点)自主预习探新知1．空间向量的运算空间向量的运算定义(或法则)运算律加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量OA→和OB→，根据平面向量加法的_________________，平行四边形的对角线OC对应的向量OC→就是a与b的和，记作a＋b，如图所示①结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；②交换律：a＋b＝b＋a平行四边形法则减法与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量空间向量的数乘空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：①|λa|＝|λ||a|，②当λ＞0时，λa与a方向；当λ＜0时，λa与a方向；当λ＝0时，λa＝0①λa＝aλ(λ∈R)；②λ(a＋b)＝λa＋λb(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)；③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)相反相同空间向量的数量积空间两个向量a和b的数量积是一个，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b①交换律：a·b＝b·a；②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)与数量积有关的结论①|a|＝a·a；②a⊥b⇔a·b＝；③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)数0思考：空间向量的数量积运算为什么不满足结合律？[提示]数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．2．共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得_________．a＝λb1.判断正误(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)AB→＋BA→＝0.()(3)两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行．()(4)空间向量数量积运算的结果是一个实数．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2.化简PM→－PN→＋MN→所得的结果是()A．PM→B．NP→C．0D．MN→C[因为PM→－PN→＋MN→＝NM→＋MN→＝0.]3.下列式子中正确的是()A．|a|·a＝a2B．(a·b)2＝a2·b2C．(a·b)c＝a(b·c)D．|a·b|≤|a||b|D[|a|·a是与a共线的向量，a2是实数，故A错误；(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B错误；(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故C错误；|a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故D正确．]4.已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．－2[a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.]合作探究提素养空间向量的线性运算【例1】(1)化简(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝________．(2)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：①AP→；②A1N→；③MP→＋NC1→.0[(1)法一：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0.法二：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0.](2)①∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.②∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.③∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c.又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，∴MP→＋NC1→＝(12a＋12b＋c)＋(a＋12c)＝32a＋12b＋32c.1．在运算时，要注意运算律的应用，在例题中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算．2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质．1．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB→＋12BC→－32DE→－AD→的化简结果是()A．AB→B．2BD→C．0D．2DE→C[如图，F是BC的中点，E为DF的三等分点，∴32DE→＝DF→，∴12BC→＝BF→则AB→＋12BC→－32DE→－AD→＝AB→＋BF→－DF→－AD→＝AF→＋FD→＋DA→＝0.]向量共线问题【例2】如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则CE→与MN→是否共线？[解]法一：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB→.①又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→，②①＋②得2MN→＝CE→，∴CE→∥MN→，即CE→与MN→共线．法二：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴MN→＝AN→－AM→＝12(AB→＋AF→)－12AC→＝12(AB→＋AF→)－12(AB→＋AD→)＝12(AF→－AD→)＝12(BE→－BC→)＝12CE→.∴MN→∥CE→，即MN→与CE→共线．判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.2．设两非零向量e1、e2不共线，AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．[解]∵BD→＝BC→＋CD→＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，∴BD→＝5AB→，又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．空间向量的数量积运算[探究问题]1．在应用空间向量数量积的运算律时要注意什么？[提示]要准确区分两向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积之间的差异．注意以下几点：(1)数量积的运算不满足约去律，即a·b＝b·c推不出a＝c；(2)数量积的运算不满足结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)；(3)数量积的运算不满足除法，即对于向量a，b，若a·b＝k，不能得到a＝kb或b＝ka.例如当非零向量a，b垂直时，a·b＝0，但a＝0b显然是没有意义的．2．空间向量的数量积的应用主要体现在哪几个方面？[提示]空间向量的数量积的应用主要有以下三个方面：(1)利用|a|＝a2，求线段的长；(2)利用cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，求两直线所成的角；(3)利用a⊥b⇔a·b＝0，证明两直线垂直．【例3】已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)；(2)|OA→＋OB→＋OC→|.[思路探究]在正四面体中，所有棱的长度都相等，每一个面都是正三角形，所以从同一顶点出发的任意两条棱所对应向量间的夹角等于60°或120°(与方向有关)．[解](1)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)＝(OA→＋OB→)·(OA→－OC→＋OB→－OC→)＝(OA→＋OB→)·(OA→＋OB→－2OC→)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(2)|OA→＋OB→＋OC→|＝（OA→＋OB→＋OC→）2＝OA→2＋OB→2＋OC→2＋2（OA→·OB→＋OB→·OC→＋OA→·OC→）＝12＋12＋12＋2（1×1×cos60°×3）＝6.1.(变条件)若本例增加条件“E、F分别是AB、OC的中点”，求向量OE→与BF→所成角的余弦值．[解]如图所示，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12，因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32，所以OE→·BF→＝12(a＋b)·12c－b＝14a·c＋14b·c－12a·b－12b2＝－12.设OE→与BF→所成的角为θ，则cosθ＝OE→·BF→|OE→|·|BF→|＝－1232×32＝－23.所以向量OE→与向量BF→所成角的余弦值为－23.2.(变条件)如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.[证明]因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB.又OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→)＝OA→·OC→－OA→·OB→＝|OA→|·|OC→|cos∠AOC－|OA→|·|OB→|·cos∠AOB＝0，所以OA→⊥BC→，即OA⊥BC.1．要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．2．利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．当堂达标固双基1．空间任意四个点A、B、C、D，则DA→＋CD→－CB→等于()A.DB→B.AC→C.AB→D.BA→D[法一：DA→＋CD→－CB→＝(CD→＋DA→)－CB→＝CA→－CB→＝BA→.法二：DA→＋CD→－CB→＝DA→＋(CD→－CB→)＝DA→＋BD→＝BA→.]2．如图已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则AB1→·C1B→＝()A．－2B．2C．－1D．1C[AB1→·C1B→＝AB1→·D1A→＝(2)2cos〈AB1→，D1A→〉＝2cos(180°－60°)＝2cos120°＝2×－12＝－1.故选C.]3．已知非零向量a，b不平行，且|a|＝|b|，则a＋b与a－b的位置关系是________．垂直[∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．]4．设a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|＝________．5[∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.∴|c|＝（－a－b）2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＝5.]5．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值．[解析]∵BC→＝AC→－AB→，∴OA→·BC→＝OA→·(AC→－AB→)＝|OA→|·|AC→|·cos〈OA→，AC→〉－|OA→|·|AB→|·cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162.∴cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝24－1628×5＝3－225，∴OA与BC的夹角的余弦值为3－225.