2019-2020学年高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.4 最大值与最小值问题

第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型学习目标：1.理解最值概念，并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2.能利用不等式解决有关的实际问题．自主预习探新知教材整理最值问题，优化的数学模型1．最值设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得________________________，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的．寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为__________，它属于更一般的问题——的一个特别的情况．f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D最大(小)值点极值问题最值问题教材整理最值问题，优化的数学模型2．分离常数法分离常数法就是，．这在求含有分式的最值问题时经常用到．这种类型的最值问题也可以用去分母的方法转化成关于x的二次方程，然后利用判别式求最值．用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意的条件．在分子中凑出与分母相同的项等号成立然后约分1．已知0＜x＜1，则x(1－x)取最大值时x的值为()A.13B.12C.14D.23[解析]∵0＜x＜1，∴x(1－x)≤x＋1－x22＝14，当且仅当x＝12时取等号．[答案]B2．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．[解析]∵t＞0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2.[答案]－2合作探究提素养利用柯西不等式求最值【例1】设x≥0，y≥0，z≥0，a，b，c，l，m，n是给定的正数，并且ax＋by＋cz＝δ为常数，求ω＝lx＋my＋nz的最小值．[精彩点拨]题设中的ω与δ的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．[自主解答]由柯西不等式得ω·δ＝lx2＋my2＋nz2·[(ax)2＋(by)2＋(cz)2]≥(al＋bm＋cn)2，所以ω≥al＋bm＋cn2δ.由柯西不等式成立的条件得x＝kla，y＝kmb，z＝knc.其中，k＝δal＋bm＋cn.它们使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝al＋bm＋cn2δ，所以ω的最小值为al＋bm＋cn2δ.利用柯西不等式求最值时，必须验证等号成立的条件是否满足．1．设x，y，z∈R，且x－1216＋y＋225＋z－324＝1.求x＋y＋z的最大值和最小值．[解]根据柯西不等式，知[42＋(5)2＋22]·x－142＋y＋252＋z－322≥4·x－14＋5·y＋25＋2·z－322，当且仅当x－116＝y＋25＝z－34，即x＝215，y＝－1，z＝195或x＝－115，y＝－3，z＝115时等号成立．∴25×1≥(x＋y＋z－2)2.∴|x＋y＋z－2|≤5，∴－3≤x＋y＋z≤7，即x＋y＋z的最大值为7，最小值为－3.利用二次函数求最值【例2】某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所获利润为P＝－1160(x－40)2＋10万元，为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修建一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Q＝－159160(60－x)2＋1192(60－x)万元．问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？[精彩点拨]分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小即可．[自主解答]若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中拿出40万元投资，可获最大利润10万元．这样10年总利润最大值为W＝10×10＝100(万元)．若对该产品开发，则前5年中，当x＝30时，Pmax＝758，前5年总利润为W1＝758×5＝3758(万元)；设后5年中，x万元用于本地销售投资，60－x万元用于异地销售投资，则总利润W2＝－1160x－402＋10×5＋－159160x2＋1192x×5＝－5(x－30)2＋4500，当x＝30时，(W2)max＝4500.∴10年总利润最大值为3758＋4500(万元)．因3758＋4500100，故该项目具有极大的开发价值．1．本题实际上是两个二次函数的叠加问题，叠加后的二次函数最值要比叠加前的二次函数最值大，从而得解．本题的现实意义也很大．2．解不等式应用题的步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；(3)求解不等式；(4)还原实际问题．2．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．[解](1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0x10)．[解](1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0x10)．利用不等式解决实际问题[探究问题]利用不等式解决实际问题的步骤是什么？[提示]利用不等式解决实际应用问题，一般可分四个步骤：(1)阅读理解材料，弄清问题背景．(2)建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学问题．(3)运用不等式的知识、手段讨论不等式关系．(4)做出结论．然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函数等方法来求最值．【例3】如图所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？[精彩点拨]设切去的小正方形的边长为x，由题意可知，折成的盒子的底面边长为a－2x，高为x，这时盒子的容积为V＝(a－2x)2x，再利用三个正数的算术－几何平均值不等式，变形为xyz≤x＋y＋z33求解即可．[自主解答]设切去的小正方形的边长为xxa2，无盖方底盒子的容积为V，则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)·(a－2x)×4x≤14a－2x＋a－2x＋4x33＝2a327.当且仅当a－2x＝a－2x＝4x，即当x＝a6时，不等式取等号，此时V取最大值2a327，即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，折成的盒子容积最大．在解决实际问题时，阅读理解题意，建立数学模型是关键，在求解数学模型时，平均值不等式是常用的手段之一．3.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器的高为h米，盖子边长为a米．(1)求a关于h的函数解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．(求解本题时，不计容器的厚度)[解](1)设h′为正四棱锥的斜高，由已知a2＋4·12h′a＝2，h2＋14a2＝h′2，解得a＝1h2＋1(h0)．(2)由V＝13ha2＝h3h2＋1(h0)，易得V＝13h＋1h.∵h＋1h≥2h·1h＝2，∴V≤16.等号当且仅当h＝1h，即h＝1时取得．故当h＝1米时，V有最大值，V的最大值为16立方米．当堂达标固双基1．已知x1，y1，且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是()A．2B．12C．14D．4[解析]∵4＝lgx＋lgy≥2lgx·lgy，∴lgx·lgy≤4.[答案]D2．已知a，b为正数，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是()A．26B．6C．6D．12[解析](4a＋1＋4b＋1)2＝(1×4a＋1＋1×4b＋1)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b＋1＝4a＋1，即a＝b＝12时等号成立．[答案]D3．数列{an}的通项公式an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大项是()A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项[解析]an＝nn2＋90＝1n＋90n≤12n×90n＝1610，当且仅当n＝90n，即n＝310时等号成立．又n为正整数，检验可知选D.[答案]D4．函数y＝5x－1＋10－2x的最大值为________．[解析]因为函数的定义域为[1,5]，且y0，则y＝5x－1＋2·5－x≤52＋22×x－12＋5－x2＝27×4＝63.当且仅当2·x－1＝5·5－x时，等号成立，即x＝12727时，函数取最大值63.[答案]635．(1)求函数y＝x2＋5x2＋4的最小值；(2)求函数y＝cos2x(1＋sinx)的最大值；(3)设x1，求函数y＝log2x＋logx4的最小值．[解](1)设l＝x2＋4，则l≥2，于是y＝x2＋4＋1x2＋4＝l＋1l.∵y′＝1－1l2＝l2－1l2，∴当l∈[2，＋∞)时，y′0，即在[2，＋∞)上函数单调递增，∴当l＝2，即x＝0时，y取得最小值，最小值为y＝2＋12＝52.(2)y＝(1－sin2x)(1＋sinx)＝(1－sinx)(1＋sinx)(1＋sinx)＝4(1－sinx)·1＋sinx2·1＋sinx2≤41－sinx＋1＋sinx2＋1＋sinx233＝4×827＝3227.等号成立⇔1－sinx＝1＋sinx2⇔sinx＝13，方程sinx＝13有解，于是函数y＝cos2x(1＋sinx)有最大值3227.(3)当x1时，log2x0，logx40，于是y＝log2x＋logx4＝log2x＋2log2x≥22.等号成立⇔log2x＝2log2x⇔log2x＝2(log2x＝－2舍去)⇔x＝22，于是ymin＝22.