2019-2020学年高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.2 排序不等式课件 新人

第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．自主预习探新知教材整理1顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的；称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的；称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的．乱序和顺序和反序和教材整理2定理(排序原理，又称为排序不等式)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是()A．MNB．M≥NC．MND．M≤N[解析]由排序不等式，知M≥N.[答案]B合作探究提素养用排序不等式证明不等式(字母大小已定)【例1】已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)1bc≥1ca≥1ab；(2)a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥1a2＋1b2＋1c2.[精彩点拨]由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．[自主解答](1)∵a≥b0，于是1a≤1b，又c0，∴1c0，从而1bc≥1ca.同理，∵b≥c0，于是1b≤1c，∴a0，∴1a0，于是得1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.(2)由(1)知1bc≥1ca≥1ab0且a≥b≥c0，∴1b2c2≥1c2a2≥1a2b2，a2≥b2≥c2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥b2b2c2＋c2c2a2＋a2a2b2＝1c2＋1a2＋1b2＝1a2＋1b2＋1c2，故a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥1a2＋1b2＋1c2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0a1≤a2≤…≤an，求证：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.[证明]∵0a1≤a2≤…≤an，∴a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1an，由排序不等式知，乱序和不小于反序和，得a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a21·1a1＋a22·1a2＋…＋a2n·1an.因此a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.字母大小顺序不定的不等式证明【例2】设a，b，c为正数，求证：a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab.[精彩点拨](1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．[自主解答]不妨设0a≤b≤c，则a3≤b3≤c3，01bc≤1ca≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a3·1ca＋b3·1ab＋c3·1bc≤a3·1bc＋b3·1ca＋c3·1ab，a3·1ab＋b3·1bc＋c3·1ca≤a3·1bc＋b3·1ca＋c3·1ab.将上面两式相加得a2＋b2c＋b2＋c2a＋c2＋a2b≤2a3bc＋b3ca＋c3ab，将不等式两边除以2，得a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体情境分类讨论．2．本例的条件不变，试证明：a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≥a＋b＋c.[证明]不妨设a≥b≥c0，则a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a，则a2·1c＋b2·1a＋c2·1b(乱序和)≥a2·1a＋b2·1b＋c2·1c(反序和)，同理，b2·1c＋c2·1a＋a2·1b(乱序和)≥a2·1a＋b2·1b＋c2·1c(反序和)．两式相加再除以2，可得a＋b＋c≤a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b.利用排序不等式求最值【例3】设a，b，c为任意正数，求ab＋c＋bc＋a＋ca＋b的最小值．[精彩点拨]由对称性，不妨设a≥b≥c0，注意到bb＋c＋cb＋c＝1，设法构造数组，利用排序不等式求解．[自主解答]不妨设a≥b≥c，则a＋b≥a＋c≥b＋c，1b＋c≥1c＋a≥1a＋b，由排序不等式得，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥bb＋c＋cc＋a＋aa＋b，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥cb＋c＋ac＋a＋ba＋b，上两式相加，则2ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥3，即ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32.当且仅当a＝b＝c时，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b取最小值32.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值．[解]不妨设x≥y≥z0，则x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x.由排序不等式，乱序和≥反序和．x2y＋y2z＋z2x≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，x2y＋y2z＋z2x≥1，当且仅当x＝y＝z＝13时，等号成立．故t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值为1.排序不等式的特点[探究问题]1．排序不等式的本质含义是什么？[提示]排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大；反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列．2．排序原理的思想是什么？[提示]在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．【例4】若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min,25min和30min，每台电脑耽误1min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[精彩点拨]这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台所用时间t1min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1min，依此类推，等候的总时间为3t1＋2t2＋t3min，求其最小值即可．[自主解答]设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？[解]根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(分钟)．即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少．当堂达标固双基1．设a1，a2，a3为正数，且a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则a1a′1＋a2a′2＋a3a′3的最小值为()A．3B．6C．9D．12[解析]由题意，不妨设a1≥a2≥a30，则1a3≥1a2≥1a10，∴a1a′1＋a2a′2＋a3a′3≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立．[答案]A2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是()A．PQB．P≥QC．PQD．P≤Q[解析]不妨设a≥b≥c0，则a2≥b2≥c20.由排序不等式得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.[答案]B3．锐角三角形中，设P＝a＋b＋c2，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的关系为()A．P≥QB．P＝QC．P≤QD．不能确定[解析]不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝a＋b＋c2＝P.[答案]C4．若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．[解析]由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.[答案]32285．已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥c2a3＋a2b3＋b2c3.[证明]∵a≥b≥c≥0，∴a5≥b5≥c5，1c≥1b≥1a＞0，∴1bc≥1ac≥1ba，∴1b3c3≥1a3c3≥1b3a3，由顺序和≥乱序和得a5b3c3＋b5a3c3＋c5b3a3≥b5b3c3＋c5a3c3＋a5b3a3＝b2c3＋c2a3＋a2b3，∴a5b3c3＋b5a3c3＋c5b3a3≥c2a3＋a2b3＋b2c3.