2019-2020学年高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1.1 平面上的柯西不等

第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．自主预习探新知教材整理1柯西不等式1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则_______________________________.2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则________________.3．柯西不等式的三角不等式：_________________.(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2|α||β|≥|α·β||α|＋|β|≥|α＋β|教材整理1柯西不等式4．柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则_________________________________________________，其中等号成立⇔_____________________________________________．(a21＋a22＋…＋a2n)12(b21＋b22＋…＋b2n)12≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|a1b1＝a2b2＝…＝anbn(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)教材整理2参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为_________________．参数配方法已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8[解析]由柯西不等式可求出(x＋y)1x＋ay≥x·1x＋y·ay2＝(1＋a)2，当x＝1，y＝a时，(x＋y)1x＋ay的最小值是(a＋1)2，故只需(1＋a)2≥9，即a≥4即可．[答案]B合作探究提素养利用柯西不等式证明不等式【例1】已知a，b，x，y都是正数，且a＋b＝1，求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.[精彩点拨]如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．[自主解答]∵a，b，x，y大于0，∴(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥(ax1x2＋bx1x2)2＝(a＋b)2x1x2.又因为a＋b＝1，所以(a＋b)2x1x2＝x1x2，其中等号当且仅当x1＝x2时成立．所以(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设x1，x2，…，xn为正数，求证：(x1＋x2＋…＋xn)1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2.[证明]由柯西不等式得(x1＋x2＋…＋xn)1x1＋1x2＋…＋1xn≥x1·1x1＋x2·1x2＋…＋xn·1xn2＝n2，∴(x1＋x2＋…＋xn)1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2.利用柯西不等式求最值【例2】设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．[精彩点拨]由x＋y＋z＝1以及u＝2x2＋3y2＋z2的形式，联想柯西不等式，构造因式12＋13＋1解决问题．[自主解答]由x＋y＋z＝12·2x＋13·3y＋1·z.根据柯西不等式，有12·2x＋13·3y＋1·z2≤122＋132＋12·(2x2＋3y2＋z2)＝116(2x2＋3y2＋z2)，因此1＝(x＋y＋z)2≤116(2x2＋3y2＋z2)，∴u＝2x2＋3y2＋z2≥611，当且仅当2x＝λ2，3y＝λ3，z＝λ时等号成立．∴x＝λ2，y＝λ3，z＝λ代入x＋y＋z＝1，得x＝311，y＝211，z＝611时，等号成立．故函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值是611.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于对目标函数配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)适当添项；(4)适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值．2．若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝9，则x＋2y＋3z的最大值是________．[解析]由柯西不等式得(x＋2y＋3z)2≤(1＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)＝14×9，故x＋2y＋3z≤314，所以x＋2y＋3z的最大值是314.[答案]314运用柯西不等式求参数的取值范围【例3】已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．[精彩点拨]“恒成立”问题需求1x＋y＋1y＋z＋1z＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．[自主解答]∵x0，y0，z0，且x＋y＋z＝xyz，∴1yz＋1xz＋1xy＝1.又1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤121xy＋1yz＋1zx＝121·1xy＋1·1yz＋1·1zx≤1212＋12＋121xy＋1yz＋1zx12＝32，当且仅当x＝y＝z时，即x＝y＝z＝3时等号成立，∴1x＋y＋1y＋z＋1z＋x的最大值为32.故1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤λ恒成立时，应有λ≥32.因此λ的取值范围是32，＋∞.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”的应用定理．3．已知函数f(x)＝2x＋5－x.若关于x的不等式f(x)≤|m－2|恒成立，求实数m的取值范围．[解]由柯西不等式得(2x＋5－x)2≤(22＋12)·|(x)2＋(5－x)2|＝25，所以f(x)＝2x＋5－x≤5.当且仅当x2＝5－x1，即x＝4时，等号成立．又不等式f(x)≤|m－2|恒成立，所以|m－2|≥5，解得m≥7或m≤－3.故m的取值范围为(－∞，－3]∪[7，＋∞).柯西不等式的应用[探究问题]1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成ab＝cd吗？[提示]不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但ab＝cd不成立．2．在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．则二维柯西不等式的三角形式又是怎样体现的呢？[提示]根据二维柯西不等式的几何意义，在△ABC中，三角形式的柯西不等式为x1－x32＋y1－y32＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x22＋y1－y22.3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？[提示]不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．4．利用柯西不等式时，常用的变形技巧有哪些？[提示]柯西不等式形式优美，有重要的应用价值，应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变形，常用的变形技巧有：(1)等价变形，将要解决的不等式问题作等价变形，构造出几个实数的平方和与另n个实数平方和的乘积的形式．(2)配辅助式，为了应用柯西不等式，有时要根据所证不等式的结构特征，结合柯西不等式等号成立的条件，配凑适当的辅助式，使问题获证．(3)适当换元，有时根据所证不等式的结构特征适当换元，转化为容易应用柯西不等式的结构特征，使问题简捷获解．(4)配系数，为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间的联系，有时要通过巧配系数来完成．【例4】已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤11.[精彩点拨]将不等式2x＋y≤11的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明．[自主解答]2x＋y＝23·3x＋12·2y.由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(3x)2＋(2y)2]232＋122＝(3x2＋2y2)43＋12≤6×116＝11，于是2x＋y≤11，当且仅当3x23＝2y12，即xy＝43时等号成立．4．已知x＋2y＝1，则x2＋y2的最小值为________．[解析]∵1＝x＋2y，∴1＝(x＋2y)2≤(1＋22)(x2＋y2)．当且仅当x＝15，y＝25时，取等号，∴(x2＋y2)min＝15.[答案]15当堂达标固双基1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为()A.13B．169C．13D．0[解析](2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.[答案]C2．已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是()A．2B．2C．3D．3[解析]2x＋y＝2·2x＋1×y≤22＋12[2x2＋y2]＝32x2＋y2＝3，当且仅当2y＝2x，即x＝y＝33时等号成立．[答案]C3．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()A．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10]D．[－5，5][解析]∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，∴|a－b|≤20＝25，∴a－b∈[－25，25]．[答案]A4．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)4a＋9b＋36c的最小值为________．[解析]∵a，b，c为正数，∴(a＋b＋c)4a＋9b＋36c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]2a2＋3b2＋6c2≥a·2a＋b·3b＋c·6c2＝121，当且仅当a2＝b3＝c6＝k(k0)时等号成立．故(a＋b＋c)4a＋9b＋36c的最小值是121.[答案]1215．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．[解]由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥13.当且仅当x＝2y＝z＝13，即x＝13，y＝16，z＝13时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为13.