2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步复习课课件 北师大版必修2

解析几何初步第二章复习课(二)解析几何初步一、直线与方程我们是如何建立直线的点斜式方程的？你能总结建立这个方程的一般步骤吗？写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方程中系数的几何意义．结合直线方程一般式的讨论，体会分类讨论的思想；选择合适的分类标准，使讨论不重不漏．【典例1】光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程是()A．y＝12x－12B．y＝2x＋12C．y＝12x＋12D．y＝12x＋1[解析]解法一：解方程组y＝x，y＝2x＋1得交点P(－1，－1)，如图，在入射线y＝2x＋1上任取一点A(1,3)，A点关于直线y＝x的对称点为B，则B点的坐标为(3,1)，由光学知识可知反射线经过P、B两点．∴反射光线的方程是y＋11＋1＝x＋13＋1即y＝12x－12.选A.解法二：解方程组y＝x，y＝2x＋1，得交点P(－1，－1)．由于入射线的斜率等于2大于1，所以反射线的斜率必小于1，过点P(－1，－1)且斜率小于1的反射线所在直线方程的纵截距必小于0，从而排除B、C、D，选A.[答案]A本题主要应用直线的斜率、倾斜角、截距、两直线所成的角及轴对称等概念．解法一是应用光学知识和轴对称概念而求解的；解法二是由已知条件判断反射线的纵截距必为负值，从而用排除法求解的．二、求圆的方程求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．第四步：代入圆的方程．【典例2】根据条件求下列圆的方程．(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；(2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．[解](1)由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，∴由3x＋2y－15＝0，3x＋10y＋9＝0，解得x＝7，y＝－3，∴圆心C(7，－3)，半径为r＝|AC|＝65.∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(2)解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心坐标为(a，b)，半径为r＝10，圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为d＝|a－b|2.由半弦长、弦心距、半径组成直角三角形，得d2＋4222＝r2，即a－b22＋8＝10，∴(a－b)2＝4.又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.由圆被直线x－y＝0截得的弦长为42，将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝42，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝a2＋b2－102，∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2.又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．三、直线与圆的位置关系讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用．如直线与圆相交求弦长时，利用公式l22＋d2＝r2(其中，弦长为l，弦心距为d，半径为r)比利用代数法求弦长要简单实用．【典例3】已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．[解](1)圆心C(1,2)，半径为r＝2.①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知，|k－2＋1－3k|k2＋1＝2，解得k＝34.∴方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有|a－2＋4|a2＋1＝2，解得a＝0或a＝43.(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为|a＋2|a2＋1，∴|a＋2|a2＋12＋2322＝4，解得a＝－34.当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2r2－d2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．四、数形结合思想1．数形结合的思想方法是一种重要的方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可先找出要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求解．2．与圆有关的最值问题是本章中的一个难点，常见的类型包括以下几种．(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；(3)已知某点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求yx，y－mx－n，x2＋y2等式子的最值，一般运用几何法求解．【典例4】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.此类问题应首先从代数式的几何意义入手，把代数问题转化为几何问题，再作出几何图形，根据图形的几何性质，观察最值出现的位置，从而解决代数式的最值问题，这是用几何方法解决代数问题的常用方法．五、分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时也要分类讨论．【典例5】已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．[解]圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5.①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.由题意可知|－k＋2＋4k－3|1＋k22＋822＝52，解得k＝－43，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.