2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-2-3-2 圆与圆的位置关系课件 北师大版

解析几何初步第二章§2圆与圆的方程2.2圆的一般方程二圆与圆的位置关系课前自主预习圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程Δ0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ0⇒相离或内含判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两圆无公共点，则两圆相离．()(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切．()(3)设两圆的圆心距为l，两圆半径长分别为r1，r2，则当|r1－r2|＜l＜r1＋r2时，两圆相交．()(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√课堂互动探究题型一两圆位置关系的判定【典例1】a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0(1)外切；(2)相交；(3)相离.[思路导引]利用圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系判定这两圆的位置关系．[解]将两圆方程写成标准方程，C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9,C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的圆心距为d,则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.(2)当1d5，即12a2＋6a＋525时，两圆相交，此时－5a－2或－1a2.(3)当d5，即2a2＋6a＋525时，两圆相离，此时a2或a－5.(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径.②计算两圆圆心的距离d.③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.[针对训练1](1)圆x2＋y2－2y＝0与圆(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切(2)已知0r2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．内切B．外切C．内含D．相交[解析](1)圆的方程x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1,∴两圆圆心分别为(0,1)，(4，－2)则圆心距为4－02＋－2－12＝5，由d＝5r1＋r2＝1＋2,∴两圆相离.(2)两圆的圆心分别为(0,0)，(1，－1),半径分别为r，2，两圆心距d＝1－02＋－1－02＝2，∵0r2＋1，∴0|r－2|2，∴|r－2|d＝2r＋2.∴两圆相交．[答案](1)A(2)D题型二与两圆相交有关的问题【典例2】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解](1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又∵|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10，∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)解法一：由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35，∴公共弦长l＝2r21－d2＝250－45＝25.解法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组x－2y＋4＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，解得x＝－4，y＝0，或x＝0，y＝2.即A(－4,0)，B(0,2)．所以|AB|＝－4－02＋0－22＝25，即公共弦长为25.(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．[针对训练2]已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[解]设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，①x2＋y2－4x＋2y－11＝0，②的解，①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r1＝3.又C1到直线AB的距离为d＝|－1×3－4×3＋6|32＋－42＝95.∴|AB|＝2r21－d2＝232－952＝245.即两圆的公共弦长为245.题型三两圆相切问题【典例3】已知圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋3y＝0相切于点A(3，－3)，求圆C的方程．[思路导引]利用圆C与圆C1及直线x＋3y＝0相切于点A(3，－3)的几何关系转化为代数关系，用待定系数法求圆C的方程．[解]设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，因为圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，所以b2＋a－12＝r＋1.①又因为圆C与直线x＋3y＝0相切于A(3，－3)，所以|a＋3b|2＝r，②b＋3a－3＝3.③由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6.故圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.处理两圆相切问题的两个步骤[针对训练3]求与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．[解]因已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心C(2，－1)．设所求圆B的圆心为B(a，b)，由切点为A(4，－1)，则点C，A，B共线．则b＝－1，又因|AB|＝1，可得a＝5或3，即所求圆B的圆心B(5，－1)或(3，－1)，故圆B的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.