2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-2-2 圆的一般方程课件 北师大版必修2

解析几何初步第二章§2圆与圆的方程2.2圆的一般方程课前自主预习1．圆的一般方程的定义当D2＋E2－4F0时，二元二次方程_____________________表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝02．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．()(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．()(3)任何二元二次方程都表示圆．()[答案](1)×(2)√(3)×课堂互动探究题型一圆的一般方程的概念【典例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[思路导引](1)根据表示圆的条件求m的取值范围．(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解．[解](1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜15，故m的取值范围为－∞，15.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．[针对训练1]下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋2x＋y＋2＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．[解](1)∵D＝2，E＝1，F＝2，∴D2＋E2－4F＝4＋1－8＝－3＜0，∴方程不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)∵D＝2a，E＝－2a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝8a20，∴方程表示圆，它的圆心为(－a，a)，半径r＝12D2＋E2－4F＝2|a|.题型二求圆的一般方程【典例2】已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．[思路导引]求圆的方程有两种形式可选：标准形式及一般式，分别代表了圆的几何特征与代数特征，根据已知选取合适的形式是解决问题的关键．[解](1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意，得22＋22＋2D＋2E＋F＝0，52＋32＋5D＋3E＋F＝0，32＋－12＋3D－E＋F＝0，解得D＝－8，E＝－2，F＝12.即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.[引申探究]若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？[解]∵kAB＝3－25－2＝13，AB的中点坐标为72，52，∵AB的垂直平分线方程为y－52＝－3x－72.联立y＝－x，y－52＝－3x－72，得x＝132，y＝－132，即圆心C的坐标为132，－132，r＝132－22＋－132－22＝3702，∴圆C的方程为x－1322＋y＋1322＝1852.应用待定系数法求圆的方程时应注意以下两点：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.[针对训练2]已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．[解]解法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q的坐标分别代入上式，得4D－2E＋F＋20＝0，D－3E－F－10＝0.①②令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③由已知得|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程③的根，∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④联立①②④解得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4.故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.解法二(几何法)：由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．又圆C的半径长r＝|CP|＝a－42＋a＋12.⑤由已知得圆C截y轴所得的线段长为43，而圆心C到y轴的距离为|a|，∴r2＝a2＋4322，代入⑤整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝13，r2＝37.故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.题型三求动点的轨迹方程【典例3】等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[思路导引]用(x，y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标，列出关于x，y的方程，把方程化简为最简形式，剔除不符合条件的点．[解]设另一端点C的坐标为(x，y)．依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得x－42＋y－22＝4－32＋2－52，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点．因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)．又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以x＋32≠4，且y＋52≠2，即点C不能为(5，－1)．故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．[针对训练3]已知直角△ABC的两个顶点A(－1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程．[解]解法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3.且kAC·kBC＝－1，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．解法二：△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．