2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-2-1 圆的标准方程课件 北师大版必修2

解析几何初步第二章§2圆与圆的方程2.1圆的标准方程课前自主预习1．确定圆的条件圆的几何特征是圆上任一点到_______的距离等于定长，这个定长称为______，一个圆的____________________一旦给定，这个圆就被确定下来了．2．圆的标准方程已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是________________________.特别地，圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为_________________.圆心半径圆心位置和半径(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的标准方程需要三个独立的条件，即圆心的横、纵坐标及半径．()(2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.()(3)点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上和点在圆外．()(4)圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m＞0)的圆心坐标为(－1,2)，半径为m.()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×课堂互动探究题型一点与圆的位置关系【典例1】已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．[思维导引]不在圆的内部，即在圆上或在圆外，即到圆心的距离大于等于半径．[解]由题意，点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－52，又a≠0，∴a的取值范围是－52，0∪(0，＋∞)．判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：(1)当(x0－a)2＋(y0－b)2r2时，点在圆内，(2)当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上，(3)当(x0－a)2＋(y0－b)2r2时，点在圆外．[针对训练1]点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定[解析]把点P(m2,5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋2524，故点P在圆外．[答案]A题型二求圆的标准方程【典例2】求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．[思路导引]由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线x＋y－2＝0的交点，可通过解方程组求出圆心坐标．[解]解法一：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴a－12＋2－a＋12＝a＋12＋2－a－12，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.解法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝1－－1－1－1＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由y＝x，x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．[针对训练2](1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D．(x－1)2＋(y－2)2＝25(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为__________________．[解析](1)∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，半径为12|AB|＝125＋32＋5＋12＝5，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5,∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.[答案](1)D(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25题型三圆的标准方程的应用【典例3】已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？[思路导引]首先建立适当的坐标系，将现实问题转化为数学问题．[解]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.713.即在离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．[引申探究]一辆卡车宽1.6m要经过半径为3.6m的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷顶距地面的高度不得超过()A．1.4mB．3.5mC．3.6mD．2.0m[解析]如图，建立直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，当x＝0.8时，y＝3.62－0.82≈3.5(m)．故选择B.[答案]B求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．[针对训练3]△ABC的顶点为A(4,0)，B(0,4)，C(0,0)，则△ABC的内切圆圆心的横坐标是()A．22－4B．4－22C．4＋22D．4[解析]设△ABC内切圆圆心为O(x，y)，半径为r，△ABC为直角三角形，∴x＝r＝12(|AC|＋|BC|－|AB|)＝12(4＋4－42)＝4－22，故△ABC内切圆圆心的横坐标为4－22.故应选B.[答案]B