2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-1-2-2 直线方程的两点式和一般式课件

解析几何初步第二章§1直线与直线的方程1．2直线的方程二直线方程的两点式和一般式课前自主预习1．直线方程的两点式2.直线方程的截距式3.直线方程的一般式(1)定义：关于x、y的二元一次方程(A、B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可用直线方程的来表示．Ax＋By＋C＝0一般式(3)系数的几何意义当B≠0时，y＝－ABx－CB，它表示平面直角坐标系中一条的直线(其中就是直线的斜率)．当B＝0时，则A≠0，所以有x＝－CA，它表示平面直角坐标系中一条的直线．不垂直于x轴－AB与x轴垂直1．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程．[答案]y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，即y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.2．过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？3．截距式方程能否表示过原点的直线？[答案]不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．[答案]不能．因为ab≠0，即有两个非零截距．4．当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B＝0呢？[答案]当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－ABx－CB，所以该方程表示斜率为－AB，在y轴上截距为－CB的直线；当B＝0时，A≠0，由Ax＋By＋C＝0，得x＝－CA，所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．课堂互动探究题型一直线的两点式方程【典例1】已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．参考公式：若Ax1，y1，Bx2，y2，则线段AB中点坐标为x1＋x22，y1＋y22[思路导引](1)BC边的直线方程可以用两点式表示．(2)先求出BC边上的中点，然后利用两点式求BC边上的中线所在直线的方程．[解](1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得y－－4－2－－4＝x－50－5，即2x＋5y＋10＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)设BC的中点M(a，b)，则a＝5＋02＝52，b＝－4＋－22＝－3，所以M52，－3，又BC边的中线过点A(－3,2)，所以y－2－3－2＝x－－352－－3，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.[引申探究]若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．[解]kBC＝－4－－25－0＝－25，则BC的垂直平分线的斜率为52，又BC的中点坐标为52，－3，由点斜式方程可得y＋3＝52x－52，即10x－4y－37＝0.(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，要判断是否满足两点式方程的适用条件．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．[针对训练1]若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.[解析]由直线方程的两点式得y－－14－－1＝x－2－3－2，即y＋15＝x－2－5.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.[答案]－2题型二直线的截距式方程【典例2】过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()A．2条B．3条C．4条D．无数多条[思路导引]直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点A(3，－1)求得直线方程．[解析]当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－13x，当截距不为零时，设直线方程为xa＋yb＝1，∴3a＋－1b＝1，|a|＝|b|，∴a＝2，b＝2或a＝4，b＝－4，即直线方程为x2＋y2＝1或x4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B.[答案]B如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．[针对训练2]直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l的方程为____________．[解析]解法一：设直线方程为xa＋yb＝1，则12|a||b|＝4，－2a＋3b＝1.解得a＝4，b＝2或a＝－43，b＝－6，所以直线l的方程为x4＋y2＝1或x－43＋y－6＝1，即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.解法二：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－3k－2，则S＝12|2k＋3|·－3k－2＝4，所以(2k＋3)3k＋2＝±8.若(2k＋3)3k＋2＝8，即4k2＋4k＋9＝0，无解．若(2k＋3)3k＋2＝－8，即4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－92或－12.所以直线l的方程为y－3＝－92(x＋2)或y－3＝－12(x＋2)．即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.[答案]9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0题型三直线的一般式方程的应用【典例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[思路导引](1)直线在坐标轴上的截距相等，注意截距为零的情况．(2)直线不经过第二象限，则其斜率大于零，在y轴上截距小于零．[解](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等．则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即3x＋y＝0；若a≠2，由题设l在两轴上的截距相等，∴a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0.∴l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴欲使l不经过第二象限，当且仅当－a＋10a－2≤0或－a＋1＝0，a－2≤0∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.(1)截距概念的把握要注意两点：①可以为零．②可以为负(不能与距离混淆)；在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x＝0得纵截距；令y＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．[针对训练3]设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.[解析](1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝2m－6m2－2m－3，∴2m－6m2－2m－3＝－3，得m＝－53或m＝3(舍去)．∴m＝－53.(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠12且m≠－1.把直线l化为斜截式方程得y＝m2－2m－32m2＋m－1x＋6－2m2m2＋m－1，则m2－2m－32m2＋m－1＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2.[答案](1)－53(2)－2