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解析几何初步第二章§1直线与直线的方程1．2直线的方程一直线方程的点斜式课前自主预习1．直线方程的点斜式2.直线方程的斜截式1．如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？[答案]由斜率公式得k＝y－y0x－x0，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)经过点P0(x0，y0)的所有直线都能用点斜式方程来表示．()(2)已知直线l与y轴的交点为(0，b)，则直线l的方程可用y＝kx＋b表示．()(3)直线在y轴上的截距即直线与y轴交点到原点的距离．()(4)直线l过点(2,1)，且与x轴垂直，则l的方程为x＝2.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√课堂互动探究题型一直线的点斜式方程【典例1】求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．[思路导引]直线过定点，且斜率已知，故考虑直线方程的点斜式．[解](1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－－2＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)．∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．[针对训练1](1)已知直线l过点A(2,1)且斜率为－14，则直线l的方程为____________．(2)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为______________________．[解析](1)直线l的斜率为－14且过点A(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.(2)k＝tan135°＝－1，由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.[答案](1)x＋4y－6＝0(2)x＋y－1＝0题型二直线的斜截式方程【典例2】(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是__________________．(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的斜率相同且与l2在y轴上的截距相等，求直线l的方程．[思路导引]优先考虑直线的斜截式方程．[解析](1)∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y＝3x＋3或y＝3x－3.(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，所以kl＝－2，由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.[答案](1)y＝3x＋3或y＝3x－3(2)y＝－2x－2[引申探究]本例(2)中若将“直线l与l1的斜率相同且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1的斜率之积为－1且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程．[解]∵kl·kl1＝－1，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为12，∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝12x＋2.(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．[针对训练2]已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．[解]设直线方程为y＝16x＋b，则当x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直线l的斜截式方程为y＝16x＋1或y＝16x－1.