2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-1-1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必

解析几何初步第二章§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率课前自主预习1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的和这条直线的．2．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为.(2)倾斜角的范围是．一个点方向逆时针倾斜角0°[0°，180°)3．直线的斜率(1)定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的值叫作这条直线的斜率，即k＝.(2)斜率与倾斜角的变化规律当倾斜角0°≤α90°时，斜率是非负的，倾斜角越，直线的斜率就越大；当倾斜角90°α180°时，斜率是的，倾斜角越，直线的斜率就越大．(3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式是k＝(x1≠x2)．正切tanα大负大y2－y1x2－x1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．()(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.()(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα.()(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．()(5)对于不与x轴垂直的直线，直线的倾斜角越大，斜率就越大．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×课堂互动探究题型一直线的倾斜角【典例1】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α140°时为α＋40°，当140°≤α180°时为α－140°[思路导引](1)注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．[解析]根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.[答案]D求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．(2)关注点结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．提醒：理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．[针对训练1]已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．[解析]有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.[答案]60°或120°题型二直线的斜率角度1：直线斜率的定义【典例2】已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100°，若l1的倾斜角为20°，求直线l2的斜率．[思路导引]结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用k＝tanθ可求．[解]如图，设直线l2的倾斜角为α，斜率为k，则α＝100°＋20°＝120°，∴k＝tanα＝tan120°＝－3.∴直线l2的斜率为－3.直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况(1)当0°≤α90°时，随α的增大，k在[0，＋∞)范围内增大；(2)当90°α180°时，随α的增大，k在(－∞，0)范围内增大．[针对训练2]如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()A．k1k2k3B．k1k3k2C．k2k1k3D．k3k2k1[解析]根据“直线倾斜角均为锐角时，斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确．[答案]A角度2：直线的斜率公式【典例3】求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中a，b，c是两两不相等的实数．(1)(a，c)，(b，c)；(2)(a，b)，(a，c)；(3)(a，a＋b)，(c，b＋c)．[思路导引]先确定斜率，再由公式k＝tanα确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在．[解](1)k＝c－cb－a＝0，倾斜角为0°.(2)∵直线所经过的两点的横坐标相同．∴此直线的斜率不存在，倾斜角为90°.(3)k＝b＋c－a＋bc－a＝1，倾斜角为45°.只有倾斜角不是90°的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等．[针对训练3](1)已知M(1，3)，N(3，3)，若直线l的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，则直线l的斜率为()A.33B.3C.32D．1(2)经过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率是12，则m的值为________．[解析](1)设直线MN的倾斜角为α，则tanα＝3－33－1＝3，∴α＝60°，故直线l的倾斜角为α2＝30°.由tan30°＝33，得直线l的斜率为33.(2)由两点连线的斜率公式可得3m－61－－m＝12，解得m＝－2.[答案](1)A(2)－2角度3：斜率公式的应用【典例4】已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值．[思路导引]实数x，y满足y＝－2x＋8且2≤x≤3，可以看作线段，而yx可以看作是线段上的点与原点连线的斜率．[解]如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．由于yx的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝23，所以可求得yx的最大值为2，最小值为23.根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y2－y1x2－x1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．[针对训练4]点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，则y＋1x＋1的取值范围是________．[解析]设P坐标(－1，－1)，A，B坐标分别为(2,4)，(5，－2)，kPA＝4－－12－－1＝53，kPB＝－2－－15－－1＝－16，所以y＋1x＋1的取值范围是－16，53.[答案]－16，53