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第1页§2三角形中的几何计算第2页要点三角形中的几何计算问题在△ABC中，边BC，CA，AB记为a，b，c，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则(1)ha＝bsinC＝csinB．(2)hb＝csinA＝asinC．(3)hc＝asinB＝bsinA．(4)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA．第3页1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？第4页答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的“基本量”就可以求其面积．第5页2．求三角形面积的常用公式．答：(1)S＝12aha(a为BC的边长，ha为BC边上的高)．(2)S＝abc4R(R是三角形外接圆的半径)．(3)S＝2R2sinAsinBsinC(R是三角形外接圆的半径)．第6页(4)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)．(5)海伦公式：S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝12(a＋b＋c)．第7页授人以渔第8页题型一求三角形的面积例1已知△ABC的面积为1，tanB＝12，tanC＝－2，求△ABC的边长以及△ABC外接圆的面积．第9页【解析】∵tanB＝12，∴0Bπ2.∴sinB＝55，cosB＝255.又∵tanC＝－2，∴π2Cπ.∴sinC＝255，cosC＝－55.第10页则sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝55×(－55)＋255×255＝35.∵asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsinB＝35b.则S△ABC＝12absinC＝12·35b2·255＝1.解得b＝153，于是a＝3.再由正弦定理，得c＝asinCsinA＝2153.第11页∵外接圆的直径2R＝asinA＝533，∴R＝536.∴外接圆的面积S＝πR2＝25π12.第12页探究1(1)求解三角形面积公式较多，除S＝12×底×高外，S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB也应用较广．(2)先用正弦定理解三角形，进而用公式求三角形的面积．第13页●思考题1在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．第14页【解析】(1)∵S＝12absinC＝12ab·32＝3，∴ab＝4.①∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC＝(a＋b)2－12＝4，∴a＋b＝4.②由①②可得a＝2，b＝2.第15页(2)∵sinB＝2sinA，∴b＝2a.又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4，∴a＝233，b＝433.∴S＝12absinC＝233.第16页题型二正、余弦定理的综合问题与方程思想例2在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．第17页【思路分析】欲求BC，在△BCD中，已知∠BCD，∠BDC可求，故需再知一条边；而已知∠BDA和AB，AD，故可在△ABD中，用正弦定理或余弦定理求得BD.这样在△BCD中，由正弦定理可求BC.第18页【解析】在△ABD中，设BD＝x，由余弦定理，得BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA.即142＝x2＋102－2·10x·cos60°.整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．由正弦定理，得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD.∴BC＝16sin135°·sin30°＝82.第19页●思考题2(2013·浙江)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．第20页【解析】(1)由2asinB＝3b及正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝283.∴S＝12bcsinA＝733.第21页题型三综合问题例3(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，证明：a2－b2c2＝sin（A－B）sinC.(2)在△ABC中，记外接圆半径为R.求证：2Rsin(A－B)＝a2－b2c.第22页【思路分析】由等号左(右)边的a2，b2，c2，运用余弦定理进行转化，由等号左(右)边的正弦值，想到运用正弦定理转化．第23页【证明】(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bcosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，两式相减，得a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2cacosB.∴a2－b2c2＝acosB－bcosAc.由正弦定理，知ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC.∴a2－b2c2＝sinAcosB－sinBcosAsinC＝sin（A－B）sinC.第24页(2)由正弦定理的变形形式：sinA＝a2R，sinB＝b2R及由等号左边的a2，b2，c2，运用余弦定理进行转化，即可得．左边＝2R(sinAcosB－cosAsinB)＝a·a2＋c2－b22ac－b·b2＋c2－a22bc＝a2－b2c＝右边．第25页探究2利用正、余弦定理证明与三角形有关的三角恒等式，要紧紧把握正、余弦定理中所反映的三角形中的边角关系来处理．正弦定理常用来把边转化为角，余弦定理常用来把角转化为边．另外还要运用三角形及三角函数的其他运算性质．第26页●思考题3在△ABC中，求证：(1)a2＋b2c2＝sin2A＋sin2Bsin2C；(2)a2＋b2＋c2＝2(bccosA＋cacosB＋abcosC)．第27页【思路分析】本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．第28页【解析】(1)根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k，显然k≠0，所以，左边＝a2＋b2c2＝k2sin2A＋k2sin2Bk2sin2C＝sin2A＋sin2Bsin2C＝右边．第29页(2)根据余弦定理，右边＝2(bcb2＋c2－a22bc＋cac2＋a2－b22ca＋aba2＋b2－c22ab)＝(b2＋c2－a2)＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2)＝a2＋b2＋c2＝左边．第30页课后巩固第31页1．在△ABC中，若a＝2b·sinA，则B等于()A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°答案D第32页2．等腰三角形的周长为8，底边为2，则底角的余弦值等于()A.24B．22C.13D.223答案C第33页3．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()A．135°B．45°C．60°D．120°答案B第34页4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC的值为()A．－14B.14C．－23D.23答案A第35页5．(2014·山东)在△ABC中，已知AB→·AC→＝tanA，当A＝π6时，△ABC的面积为________．第36页答案16解析根据平面向量数量积的概念得AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA，当A＝π6时，根据已知可得|AB→|·|AC→|＝23，故△ABC的面积为12|AB→|·|AC→|sinπ6＝16.第37页6．已知在△ABC中，a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.第38页证明方法一：∵a2＝b(b＋c)，根据正弦定理，得sin2A＝sinB(sinB＋sinC)，即sin2A－sin2B＝sinBsinC.∴cos2B－cos2A2＝sinBsinC.∴sin(A＋B)sin(A－B)＝sinBsinC.又在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sinB.则A－B＝B或(A－B)＋B＝π(舍去)．∴A＝2B.第39页方法二：∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝c2－bc2bc＝c－b2b，又cos2B＝2cos2B－1＝2(a2＋c2－b22bc)2－1＝2(c2＋bc2ac)2－1＝（c＋b）22a2－1＝（c＋b）22b（b＋c）－1＝b＋c2b－1＝c－b2b.∴cosA＝cos2B.由a2＝b(b＋c)知ab，则B为锐角，0Aπ，02Bπ，∴A＝2B.第40页方法三：2bcosB＝2ba2＋c2－b22ac＝b（c2＋bc）ac＝b（b＋c）a＝a，即2bcosB＝a，根据正弦定理，得sinA＝2sinBcosB，即sinA＝sin2B.∴A＝2B或A＋2B＝π.若A＋2B＝π，则B＝C.由a2＝b(b＋c)，知a2＝b2＋c2.∴B＝C＝π4，A＝π2，∴A＝2B.第41页